2017年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 集合A={y|y=2^x ， x∈R}，B={x∈Z|log₆（x+2）＜1}，则A∩B=（）

A、{x|0＜x＜4} B、{1，2，3} C、{0，1，2，3} D、∅

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2. 复数z满足（z﹣i）（5﹣i）=26，则z的共轭复数为（）

A、﹣5﹣2i B、﹣5+2i C、5﹣2i D、5+2i

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3. 已知函数f（x）=2sin（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）（ω＞0）的周期为π，则下列选项正确的是（）

A、函数f（x）的图象关于点（ $\frac{π}{6}$ ，0）对称 B、函数f（x）的图象关于点（﹣ $\frac{π}{12}$ ，0）对称 C、函数f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{3}$ 对称 D、函数f（x）的图象关于直线x=﹣ $\frac{π}{12}$ 对称

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4. 已知命题p：函数y=lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上单调递减，命题q：函数y=2^cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是（）

A、p∧q B、（￢p）∨（￢q） C、（￢p）∧q D、p∧（￢q）

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5. 已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列，且满足a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=π，b₂₀b₂₁=4，则tan $\frac{a_{1} + a_{4032}}{2 + b_{19} b_{22}}$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、﹣1

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6. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）

A、40 B、60 C、120 D、240

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7.
庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（ $\frac{15}{16}$ ， $\frac{63}{64}$ ），则输入的n的值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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8.
如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为（）

A、6 B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{5}$ +2 D、2 $\sqrt{6}$ +2

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9. 已知实数a，b满足﹣2≤a≤2，﹣2≤b≤2，则函数y= $\frac{1}{3}$ x³﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ax²+bx﹣1有三个单调区间的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则这个球的表面积为（）

A、 $\frac{500 π}{81}$ B、4π C、 $\frac{25 π}{9}$ D、 $\frac{100 π}{9}$

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，则双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、1＜e＜ $\sqrt{3}$ B、e＞ $\sqrt{3}$ C、1＜e＜ $\sqrt{5}$ D、e＞ $\sqrt{5}$

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12. 已知函数f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其导函数为f′（x），现有如下命题：

①对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），使得x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
②对x₁∈（0，+∞），对∀x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂ ，使得f（x₁）﹣f（x₂）＜x₂﹣x₁；
③当a＞3时，对∀x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立；
④当a＞3时，对∀x∈（3，+∞），且x≠a时，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立；其中真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，且 $\vec{a}$ ⊥（x $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则|2 $\vec{a}$ ﹣（x+1） $\vec{b}$ |= ．

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14. （x﹣ $\sqrt{x}$ ）ⁿ的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中x²项的系数为．

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15. 已知抛物线ny²=x（n＞0）的准线与圆x²+y²﹣8x﹣4y﹣5=0相切，则n的值为．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a_n+a_n₊₁=n• ${(- 1)}^{\frac{n (n + 1)}{2}}$ ，S₂₀₁₇=1008，则a₂的值为．

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三、解答题

17. 已知f（α）=cosα $f (α) = \cos α \sqrt{\frac{1 - \sin α}{1 + \cos α}} + \sin α \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}}$

（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）；
（Ⅱ）当α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π）时，求f（α）的最大值．

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18. 某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：

组数	分组	19题满分人数	19题满分人数占本组人数比例
第一组	[105，110]	15	0.3
第二组	[110，115）	30	0.3
第三组	[115，120）	x	0.4
第四组	[120，125）	100	0.5
第五组	[125，130）	120	0.6
第六组	[130，135）	195	y

（Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；

（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取9份进行展出，并从9份试卷中选出两份作为优秀试卷，优秀试卷在[115，120）中的分数记为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．

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19. 如图，已知斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA= $\frac{π}{3}$ ，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）证明：B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）若M为A₁C₁的中点，求二面角A﹣B₁M﹣A₁的余弦值．

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20. 已知椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到直线x﹣y+2 $\sqrt{2}$ =0的距离为3
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求△BOC面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=（x﹣1）e^x+ax²有两个零点
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求a的取值范围；
（Ⅲ）设x₁ ， x₂是f（x）的两个零点，证明：x₁+x₂＜0．

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22. 已知曲线C： ${\begin{matrix} x = - 3 + 4 \cos θ \\ y = 4 + 4 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线l₁：kx﹣y+k=0，l₂：cosθ﹣2sinθ= $\frac{4}{ρ}$

（Ⅰ）写出曲线C和直线l₂的普通方程；
（Ⅱ）l₁与C交于不同两点M，N，MN的中点为P，l₁与l₂的交点为Q，l₁恒过点A，求|AP|•|AQ|

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23. 已知函数f（x）=|x+ $\frac{2 a^{2} + 1}{a}$ |+|x﹣a|（a＞0）
（Ⅰ）证明：f（x）≥2 $\sqrt{3}$ ；
（Ⅱ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集．

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