浙北四校2018-2019学年高三数学12月模拟考试卷

试卷更新日期：2018-12-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. i为虚数单位， $\frac{i^{3} (i + 1)}{i - 1} =$ （）

A、i B、 C、1 D、

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2. 若 ${log}_{m} 2 < {log}_{n} 2 < 0$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} + 2 x)$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、最小正周期为为奇函数 B、最小正周期为为偶函数 C、最小正周期为为奇函数 D、最小正周期为为偶函数

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、8 B、 C、16 D、 16

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5. 若非空集合 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $A \cup^{} B = C$ ，且 $B$ 不是 $A$ 的子集，则“ $x \in C$ ”是“ $x \in A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，若以 $A$ ， $B$ 为焦点的双曲线的渐近线经过点 $C$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 4$ ， $| \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} | \geq 10$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为（）

A、384 B、480 C、768 D、240

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9. 若直线 $a x + b y = 1$ 与不等式组 ${\begin{matrix} y \leq 1 \\ 2 x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域无公共点，则 $2 a + 3 b$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、R

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是一个递增数列，满足 $a_{n} \in N^{*}$ ， $a_{a_{n}} = 2 n + 1$ , $n \in N^{*}$ ，则 $a_{4}$ =（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

11. 已知 $U = R$ ， $M = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $N = {x | 2^{x} > 1}$ ，则 $M \cap^{} N =$ ， $M \cup^{} C_{U} N =$ ．

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12. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出

$x$

1

2

3

$f (x)$

1

3

1

$x$

1

2

3

$g (x)$

3

2

1

则 $f [g (1)]$ 的值为；满足 $f [g (x)] > g [f (x)]$ 的 $x$ 的值是．

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13. 二项式 ${(\frac{1}{x} - \frac{x}{2})}^{6}$ 的展开式的各项系数之和为， $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设 $ζ$ 表示取到红球的个数，则 $E ζ =$ ， $D ζ =$ ．

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15. 化简 $\frac{1}{sin 70 °} - \frac{\sqrt{3}}{cos 70 °}$

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16. 如图，已知 $E ， F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A B ， C D$ 的中点，现将正方形沿 $E F$ 折成 $60 °$ 的二面角，则异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值是．

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17. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点， $A$ ， $B$ ， $C$ 是椭圆上 $x$ 轴上方的三点，且 $A F_{1} ∥ B O ∥ C F_{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\frac{| A F_{1} + C F_{2} |}{| O B |}$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ $B = \frac{π}{3}, cosA = \frac{4}{5}, b = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均为2，侧面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ $C$ 底面 $A B C$ ，侧棱 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成的角为 $60 °$ ．

（Ⅰ）求直线 $A_{1} C$ 与底面 $A B C$ 所成的角；

（Ⅱ）在线段 $A_{1} C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得平面 $B_{1} C P ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ？若存在，求出 $C_{1} P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $(n + 1) a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = 2$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（Ⅰ）证明数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = n \cdot {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{\frac{S_{n}}{n}}$ ，且 $b_{n} \leq M$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $M$ 的最小值．

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21. 如图，已知直线 $P A ， P B ， P C$ 分别与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于点 $A ， B ， C$ ，与 $x$ 轴的正半轴分别交于点 $L ， M ， N$ ，且 $| L M | = | M N |$ ，直线 $P B$ 方程为 $2 x - y - 4 = 0$ ．

（Ⅰ）设直线 $P A$ ， $P C$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2} = k_{1} k_{2}$ ；

（Ⅱ）求 $\frac{S_{△ P A B}}{S_{△ P B C}}$ 的取值范围．

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22. 设 $a \in R$ ，已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值 $g (a)$ ；

（Ⅲ）若 $a > 0$ , 求使方程 $f (x) = 2 a x$ 有唯一解的 $a$ 的值．

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$x$	1	2	3
$f (x)$	1	3	1

$x$	1	2	3
$g (x)$	3	2	1