吉林省长春市2018年高考文数数学二模试卷

试卷更新日期：2018-12-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x < 0}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $z^{2} + z = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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3. 命题“若 $x^{2} < 1$ ，则 $- 1 < x < 1$ ”的逆否命题是 $($ $)$

A、若，则且 B、若，则 C、若或，则 D、若或，则

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则 $△ A B F_{1}$ 的周长为 $($ $)$

A、4 B、6 C、8 D、16

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = ($ $)$

A、 B、3 C、 D、5

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ， $a_{5} + a_{6} = 6 a_{4}$ ，则 $a_{5} = ($ $)$

A、4 B、10 C、16 D、32

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7. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，满足在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (- 1) = 0$ ，则 $f (x + 1) > 0$ 的解集为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 D、 $\frac{3}{2}$

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9. 若点 $(x ， y)$ 满足线性条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ 5 x + y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ，且 $f (0) = 1$ ，则下列结论中正确的是 $($ $)$

A、 B、是图象的一个对称中心 C、 D、是图象的一条对称轴

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线的右支上，且 $| P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ ，则双曲线离心率的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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12. 若关于x的方程 $(ln x - a x) ln x = x^{2}$ 存在三个不等实根，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = x^{3} - 2 x$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为.

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14. 若向区域 $Ω = {(x ， y) | 0 \leq x \leq 1 ， 0 \leq y \leq 1}$ 内投点，则该点到原点的距离小于 $1$ 的概率为.

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15. 更相减损术是出自 $《$ 九章算术 $》$ 的一种算法 $.$ 如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入 $a = 91$ ， $b = 39$ ，则输出的值为．

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16. 在△ $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若其面积 $S = b^{2} sin A$ ，角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则 $b =$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n - 11$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、令 $b_{n} = | a_{n} |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $10$ 项和 $S_{10}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 A B = 4$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A B B_{1}$ 的体积．

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19. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 $[100 ， 150)$ ， $[150 ， 200)$ ， $[200 ， 250)$ ， $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ ， $[350 ， 400) ($ 单位：克 $)$ 中，经统计得频率分布直方图如图所示．

(1)、经计算估计这组数据的中位数；

(2)、现按分层抽样从质量为 $[250 ， 300)$ ， $[300 ， 350)$ 的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在 $[300 ， 350)$ 内的概率．

(3)、某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所以芒果以10元 $/$ 千克收购；

B：对质量低于250克的芒果以2元 $/$ 个收购，高于或等于250克的以3元 $/$ 个收购．

通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

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20. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴， $l$ 与抛物线两交点间的距离为 $2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程;

(2)、若点 $P (2, 2)$ ，过点 $(- 2, 4)$ 的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点，设直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ .求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值，并求出此定值.

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21. 函数 $f (x) = a x^{2} - x - x^{2} ln x$ ．

(1)、若函数 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 时取到极小值，证明： $- \frac{1}{9} < f (x_{0}) < - \frac{3}{32}$ ．

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} c o s θ ， \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 4 cos θ$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若过点 $F (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $\frac{| F A | | F B |}{| F M | | F N |}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | 3 x - 6 |$ ．

(1)、求 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为T，正数a，b满足 $a + b = \frac{1}{2}$ ，求证： $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq T$ ．

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