浙江师大附中2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} = x}$ ， $N = {x | \frac{x}{x - 1} < 0}$ ，则 $M \cup^{} N = ($ $)$

A、 B、 $(0, 1]$ C、 D、

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2. $\sqrt[3]{- 8}$ 的值是 $($ $)$

A、 $- 2$ B、2 C、 $\pm 2$ D、

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3. $x \in R$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、， B、， C、， D、，

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{\frac{1}{2}} (3 - x)}$ 的定义域是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 4 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) ($ 其中 $a > b)$ ，若 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 设 $f (x)$ 是连续的偶函数，且当 $x > 0$ 时是单调函数，则满足 $f (2 x) = f (\frac{x + 1}{x + 4})$ 的所有x之和为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、8

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a$ ，在区间 $(- \infty ， 1)$ 上有最小值，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上一定 $($ $)$

A、是减函数 B、是增函数 C、有最小值 D、有最大值

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10. 定义在 $(- 1 ， 1)$ 的函数 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，当 $x \in (- 1 ， 0)$ 时 $f (x) < 0$ ，若 $P = f (\frac{1}{4}) + f (\frac{1}{5})$ ， $Q = f (\frac{1}{2})$ ， $R = f (0)$ ，则P，Q，R的大小为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. ${0.064}^{- \frac{1}{3}} - {(- \frac{7}{8})}^{0} + 16^{0.75} + | - 0.01 |^{\sqrt{0.25}} =$ ； $lg \frac{5}{2} + 2 lg 2 - {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$

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12. 函数 $f (x) = {log}_{2} (4 - x^{2})$ 的单调递增区间是；值域是

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13. 若 $f (x - \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ ； $f (x) =$

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3 x - 1 ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的a的取值范围是

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15. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} (3 a - 1) x + 4 a (x < 1) \\ {log}_{a} x (x \geq 1) \end{matrix}$ 是 $(- \infty ， + \infty)$ 上的减函数，那么a的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| x + 1 | + | x - a | - 2} (a \in R) f (x)$ 的定义域为R，则实数a的取值范围．

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17. 在计算机的算法语言中有一种函数 $[x]$ 叫做取整函数 $($ 也称高斯函数 $)$ ，表示不超过x的最大整数，例如 $[2] = 2$ ， $[3.3] = 3$ ， $[- 2.4] = - 3$ ，设函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)] + [f (- x)]$ 的值域为．

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三、解答题

18. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x < 6}$ ， $B = {x | 2 < x < 9}$ ．

(1)、求 $∁_{R} (A \cap^{} B)$ ， $(∁_{R} B) \cup^{} A$ ；

(2)、已知 $C = {x | a < x < a + 1}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数a的取值集合．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，已知当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = lg (x + 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 3]$ 上的值域．

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ，且 $f (0) = 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值；

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) + 2 a x > 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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21. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意的 $t \in [- 2, 2]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (k t - 5) < 0$ 恒成立，求k的取值范围．

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22. 已知 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x}$ ．

(1)、t＞0，讨论 $f (x)$ 在 $[t, t + 2]$ 上的最值；

(2)、若关于x的方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + k \cdot \frac{2}{| 2^{x} - 1 |} - 3 k = 0$ 有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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