安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设命题 $p$ ：“ $\exists a \geq - 1$ ， $ln (e^{n} + 1) > \frac{1}{2}$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、， B、， C、， D、，

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2. 已知命题 $p$ ：函数 $y = 2 - a^{x + 1}$ 的图象恒过定点 $(1 ， 2)$ ；命题 $q$ ：若函数 $y = f (x - 1)$ 为偶函数，则函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则下列命题为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知命题 $p ：$ 关于 $x$ 的函数 $y = x^{2} - 3 a x + 4$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，命题 $q ：$ 函数 $y = {(2 a - 1)}^{x}$ 为减函数，若“ $p$ 且 $q$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，经过点 $F_{2}$ 的直线交椭圆于点 $A ， B$ ，若 $| A B | = 5$ ，则 $| A F_{1} | + | B F_{1} |$ 等于（）

A、 B、 $10$ C、 D、

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5. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、3 C、3或7 D、1或9

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且 $| A K | = \sqrt{2} | A F |$ ，则△AFK的面积为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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7. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $P (x ， y)$ 为该抛物线上的动点，又点 $A (- 1 ， 0) ，$ 则 $\frac{| P F |}{| P A |}$ 的最小值是（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、

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8. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4 $\sqrt{5}$ ，则抛物线C的方程为（）

A、x²=8y B、x²=4y C、x²=2y D、x²=y

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9. 设 $f (x)$ 为可导函数，且 $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$ ，求 $lim_{h \to 0} \frac{f (2 - h) - f (2 + h)}{h}$ 的值（）

A、 B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + cos x$ ，则 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 曲线 $y = e^{x} + 1$ 在点 $A (0 ， 2)$ 处的切线斜率为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设f(x)＝xln x，若f′(x₀)＝2，则x₀等于（）

A、e² B、e C、 D、ln 2

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二、填空题

13. 若“ $x > a$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知命题 $p ：$ 方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根；命题 $q ：$ 关于 $x$ 的函数 $y = (m + 2) x - 1$ 是 $R$ 上的单调增函数，若“ $p$ 或 $q$ ”是真命题，“ $p$ 且 $q$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A$ ， $B$ ，且 $A (m, 18)$ 在第一象限，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f' (1) + ln x$ ，则 $f' (1) =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $m \in R$ ,命题 $p : \forall x \in [0, 1], 2 x - 2 \geq m^{2} - 3 m$ ，命题 $q : \exists x_{0} \in [- 1, 1], m \leq x_{0}$ .

(1)、若p为真命题，求实数 m 的取值范围；

(2)、若命题 $p \land q$ 是假命题, 命题 $p \lor q$ 是真命题,求实数m的取值范围.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $\frac{1}{3}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = k x + 2 (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，若在 $x$ 轴上存在点 $G$ ，使得 $| G M | = | G N |$ ，求点 $G$ 的横坐标的取值范围.

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19. 设 $A ， B$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点，双曲线的实轴长为 $4 \sqrt{3}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、已知直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 2$ 与双曲线的右支交于 $M ， N$ 两点，且在双曲线的右支上存在点 $D$ ，使 $\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N} = t \overset{⇀}{O D}$ ，求 $t$ 的值及点 $D$ 的坐标．

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20. 函数 $f (x) = a ln x - b x^{2} ， a ， b \in R$ ， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 相切．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值．

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21. 已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上，离心率等于 $\frac{1}{2}$ ，它的一个顶点恰好是抛物线 $x^{2} = 8 \sqrt{3} y$ 的焦点.

(1)、求椭圆C的焦点；

(2)、已知点 $P (2 ， t) ， Q (2 ， - t) (t > 0)$ 在椭圆C上，点 $A ， B$ 是椭圆C上不同于 $P ， Q$ 的两个动点，且满足： $∠ A P Q = ∠ B P Q$ ，试问：直线 $A B$ 的斜率是否为定值？请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x} (a \in R)$ ， $g (x) = \frac{ln x}{x}$ ．
（I）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ） $\exists x_{o} \in (0 ， + \infty)$ ，使不等式 $f (x) \leq g (x) - e^{x}$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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