备考2019年高考数学一轮专题：第22讲正弦定理、余弦定理应用举例

试卷更新日期：2018-12-23 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东 $θ$ 的方向即沿直线CB前往B处救援，则 $cos θ$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{28}$

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2. 如图，巡航艇在海上以 $60 km / h$ 的速度沿南偏东 $40 °$ 的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东 $70 °$ ，航行 $\frac{1}{2} h$ 到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东 $65 °$ ，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是

A、 $10 km$ B、 $10 \sqrt{2} km$ C、 $15 km$ D、 $15 \sqrt{2} km$

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3. 蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ 的军事基地 $C$ 和 $D$ ，测得红军的两支精锐部队分别在 $A$ 处和 $B$ 处，且 $∠ A D B = 30 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $∠ D C A = 60 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$ C、 $\frac{3}{8} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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4. 一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 $\sqrt{2}$ 海里，则灯塔S在B处的（）

A、北偏东75° B、北偏东75°或东偏南75° C、东偏南75° D、以上方位都不对

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5. 海上有 $A ， B$ 两个小岛相距 $10 nmile$ ，从 $A$ 岛望 $C$ 岛和 $B$ 岛，成 $60 °$ 的视角，从 $B$ 岛望 $C$ 岛和 $A$ 岛，成 $75 °$ 的视角，则 $B ， C$ 间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{3} nmile$ B、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3} nmile$ C、 $5 \sqrt{2} nmile$ D、 $5 \sqrt{6} nmile$

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6. 如图，某工程中要将一长为100 m、倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长

A、100 $\sqrt{2}$ m B、100 $\sqrt{3}$ m C、50( $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ )m D、200 m

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7. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）

A、 $50 \sqrt{5}$ B、 $50 \sqrt{7}$ C、 $50 \sqrt{11}$ D、 $50 \sqrt{19}$

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8. 某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为

A、500米 B、600米 C、700米 D、800米

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9. 如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据

A、 $α ， a ， b$ B、 $α ， β ， a$ C、 $a ， b ， γ$ D、 $α ， β ， b$

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10. 如图所示，长为 $4 m$ 的木棒 $A B$ 斜靠在石堤旁，木棒的一端 $A$ 在离堤足 $C$ 处 $2 m$ 的地面上，另一端 $B$ 在离堤足 $C$ 处 $3 m$ 的石堤上，石堤的倾斜角为 $α$ ，则坡度值 $\tan α$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{231}}{5}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{11}{5}$

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二、填空题

11. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是.

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12. 某舰艇在 $A$ 处测得遇险渔船在北偏东 $45 °$ 方向上的 $C$ 处，且到 $A$ 的距离为 $10$ 海里，此时得知，该渔船沿南偏东 $75 °$ 方向，以每小时 $9$ 海里的速度向一小岛靠近，舰艇的速度为 $21$ 海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是小时．

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13. 甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是h．

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14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30 °$ 的方向上，行驶600 m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75 °$ 的方向上，仰角为 $30 °$ ，则此山的高度 $C D =$ m．

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15. 如图所示，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 与 $D$ ，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，塔高 $A B$ 为．

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16. 在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是．

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三、解答题

17. 某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

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18. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距 $5 (3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20 $\sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的时间和航行方向.

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19. 如图所示，一辆汽车从 $A$ 市出发沿海岸一条直公路以 $100 km/h$ 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 $A$ 市南偏东30°方向距 $A$ 市 $600 km$ 的海上 $B$ 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？

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20. 如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2 $\sqrt{3}$ －2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为 $2 \sqrt{2}$ 海里的C处的缉私船立即奉命以10 $\sqrt{3}$ 海里/时的速度追截走私船．

(1)、刚发现走私船时，求两船的距离；

(2)、若走私船正以10 $\sqrt{2}$ 海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{6}$ ≈2.5)．

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21. 如图，某军舰艇位于岛的 $A$ 的正西方 $C$ 处，且与岛的 $A$ 相距12海里.经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿 $A$ 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从 $C$ 处出发沿北偏东 $90 ° - α$ 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.

(1)、求该军舰艇的速度.

(2)、求 $sin α$ 的值.

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22. 如图，岛 $A$ 、 $C$ 相距 $10 \sqrt{7}$ 海里．上午9点整有一客轮在岛 $C$ 的北偏西 $40^{0}$ 且距岛 $C$ $10$ 海里的 $D$ 处，沿直线方向匀速开往岛 $A$ ，在岛 $A$ 停留 $10$ 分钟后前往 $B$ 市．上午 $9 ： 30$ 测得客轮位于岛 $C$ 的北偏西 $70^{0}$ 且距岛 $C$ $10 \sqrt{3}$ 海里的 $E$ 处，此时小张从岛 $C$ 乘坐速度为 $V$ 海里/小时的小艇沿直线方向前往 $A$ 岛换乘客轮去 $B$ 市．

（Ⅰ）若 $V \in (0 ， 30]$ ，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得 $cos ∠ B A C = - \frac{4}{5}$ ， $sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．已知速度为 $V$ 海里/小时( $V \in (0 ， 30]$ )的小艇每小时的总费用为( $\frac{1}{2} V^{2} + V + 50$ )元，若小张由岛 $C$ 直接乘小艇去 $B$ 市，则至少需要多少费用？

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23. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 $60 °$ 方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 $α$ 的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．

(1)、求渔船甲的速度；

(2)、求 $\sin α$ 的值．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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