备考2019年高考数学一轮专题：第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

试卷更新日期：2018-12-22 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. $\frac{\sin 47^{\circ} - \sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}} =$ ( )

A、－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、－ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知 $\frac{π}{2} < β < α < \frac{3}{4} π$ ， $cos (α - β) = \frac{12}{13}$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. $(2 \sqrt{3} sin 70 ° - tan 70 °) sin 80 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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5. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 $A ， B$ 两点，从 $A ， B$ 两点分别测得树尖的仰角为 $30^{\circ}$ ， $45^{\circ}$ ，且 $A ， B$ 两点间的距离为 $60 m$ ，则树的高度为（）

A、 $(30 + 30 \sqrt{3}) m$ B、 $(30 + 15 \sqrt{3}) m$ C、 $(15 + 30 \sqrt{3}) m$ D、 $(15 + 15 \sqrt{3}) m$

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6. 已知 $\frac{π}{2} < β < α < \frac{3}{4} π ， cos (α - β) = \frac{12}{13} ， sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{56}{65}$ B、 $- \frac{56}{65}$ C、 $\frac{65}{56}$ D、 $- \frac{65}{56}$

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7. 已知 $\tan (α + β) = \frac{1}{2} ， \tan (α - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan (β + \frac{π}{4}) =$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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8. 若在 $△ A B C$ 中， $sin (A + B) sin (A - B) = {(\sin C)}^{2}$ ，则此三角形的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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9. 已知 $sin x + \sqrt{3} cos x = \frac{8}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} - x) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. $\frac{sin (\frac{π}{3} + x) + cos (\frac{π}{6} + x)}{sin (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) \cdot sin (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})} =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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11. 若 $tan α = \frac{1}{3} ， tan (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12. $tan 10^{\circ} + tan 50^{\circ}$ $+ \sqrt{3} tan 10^{\circ} tan 50^{\circ} =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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二、填空题

13. (1＋tan15°)(1＋tan30°)＝.

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14. 已知 $\sin α + \cos β = 1$ ， $\cos α + \sin β = 0$ ，则 $\sin (α + β)$ = ．

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15. 若 $sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{13}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则 $cos θ =$ .

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16. 若 $sin 2 α = \frac{3}{5} ， α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{4}) + 2 cos \frac{π}{4} {cos}^{2} α$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知 $sin x = 2 cos x$

(1)、求 $tan (x + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 ${sin}^{2} x - 6 {cos}^{2} x$ 的值.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a sin 2 B = \sqrt{3} b sin A$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $cos A = \frac{1}{3}$ ，求 $sin C$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 sin 8 x cos 4 x sin (4 x + \frac{π}{6}) - cos 8 x sin 4 x (\sqrt{3} sin 4 x + cos 4 x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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20. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边，已知 $c = \frac{7}{2}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，又 $tan A + tan B = \sqrt{3} (tan A tan B - 1)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $a + b$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、已知△ABC的内角分别是A、B、C，其中A为锐角，且 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{1}{2}$ ，cosB＝ $\frac{4}{5}$ ，
求sinC的值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 cos x cos (x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} {sin}^{2} x + sin x cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、把 $f (x)$ 的图象向右平移 $m$ 个单位后，在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 是增函数，当 $| m |$ 最小时，求 $m$ 的值．

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23. 已知函数 $\overset{⇀}{a} = （ 2 c o s^{2} x － 1 ， \frac{1}{2} ）， \overset{⇀}{b} = (s i n 2 x ， c o s 4 x)$ ，若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(1)、求f(x)的最小正周期及单调减区间；

(2)、若α∈(0，π)，且 $f (\frac{α}{4} - \frac{π}{8})$ ＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求tan $(α + \frac{π}{3})$ 的值．

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24. 已知 $\vec{a} = (\sin x ， \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - \cos x)$ ，函数f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）= $\frac{1}{3}$ 在（0，π）上的解为x₁ ， x₂ ，求cos（x₁﹣x₂）的值．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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