福建福鼎三校联考2018-2019学年高三上半期文数联考试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $P ： 2 < x < 4 ； Q ： ln x < e$ ，则P是Q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式：① $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ ；② $| a | + b > 0$ ；③ $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ ；④ $ln a^{2} > ln b^{2}$ 中，不正确的不等式是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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3. 若向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 18$ ，则 ${log}_{3} a_{1} + {log}_{3} a_{2} + \dots {log}_{3} a_{10} = ($ $)$

A、12 B、10 C、8 D、

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5. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、， B、， C、， D、，

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6. 如图，一座建筑物AB的高为 (30－10 $\sqrt{3}$ )m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面上点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为（）

A、30 m B、60 m C、 30 $\sqrt{3}$ m D、 40 $\sqrt{3}$ m

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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8. 将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值为（）

A、 B、 $\frac{π}{3}$ C、 D、

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9. 函数f（x）= $\frac{x (e^{- x} - e^{x})}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = n \cos \frac{n π}{2}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2013}$ 等于（）

A、1006 B、2012 C、503 D、0

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11. 已知正数a，b，c满足4a-2b+25c=0，则lga+lgc-2lgb的最大值为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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12. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x² ，对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么实数t的取值范围是（）

A、 [ ，+∞） B、[2，+∞） C、（0， ] D、 [0， ]

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二、填空题

13. 已知非空集合M满足：若 $x \in M$ ，则 $\frac{1}{1 - x} \in M$ ．则当 $4 \in M$ 时，集合M的所有元素之积为．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ；令 $b_{n} = {log}_{3} (a_{n} + 1)$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{100} =$ ．

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15. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率 $π \approx 3$ ）

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16. 函数 $f (x) = 1 + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$ ， $g (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}$ ，若函数 $F (x) = f (x + 3) g (x - 4)$ ，且函数 $F (x)$ 的零点均在 $[a, b] (a < b, a, b \in Z)$ 内，则 $b - a$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcosC+ccosB=2acosB．

(1)、求B的大小；

(2)、若△ABC的面积是 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且a+c=5，求b．

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18. 已知函数 $f （ x ） = a x^{2} + b x$ 的图象经过（-1，0）点，且在x=-1处的切线斜率为-1，设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和S_n=f（n）（n∈N*）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列{ $\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ }前n项的和T_n_．

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19. 如图在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D ， E ， F$ 分别为棱 $P C ， A C ， A B$ 的中点，已知 $P A ⊥ A C ， P A = 6 ， B C = 8 ， D F = 5$ ，

求证：

(1)、直线 $P A / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、平面 $B D E$ $⊥$ 平面 $A B C$ .

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20. 某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打车前往，大数据分析显示，当 $x % (0 < x < 100 %)$ 的学生选择自行打车，自行打车的平均时间为 $f (x) = {\begin{matrix} 30 ， 0 < x \leq 30 ， \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 、 30 < x < 100 \end{matrix}$ (单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受 $x$ 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)、当 $x$ 在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?

(2)、求该校学生参加考试平均时间 $g (x)$ 的表达式:讨论 $g (x)$ 的单调性,并说明其实际意义.

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21. 已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；

(3)、若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 5 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

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