安徽皖东名校联盟2018-2019学年高三上学期文数第二次联考试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x (x - 3) \leq 0}$ ， $B = {0, 3, 4}$ ，则 $A \cap^{} B$ 的真子集有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 设 $i$ 是虚数单位，条件 $p :$ 复数 $a - 1 + b i (a, b \in R)$ 是纯虚数，条件 $q : a = 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{3 - x}}{lg x}$ 的定义域是（）

A、 $(0, 3)$ B、 C、 D、

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4. 函数 $f (x) = a x^{2} + 3 x - a (a \in R)$ （）

A、没有零点 B、有一个零点 C、有两个零点 D、有一个零点或有两个零点

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5. 函数 $f (x) = x - cos x - sin x$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 内（）

A、单调递增 B、单调递减 C、有增有减 D、无法判定

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6. 函数 $y = x^{2} - 2^{| x |} (x \in R)$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若函数 $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + b$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值是3，则实数 $b =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 若抛物线 $x^{2} = 2 y$ 在点 $(a ， \frac{a^{2}}{2}) (a > 0)$ 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8，则此切线方程是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设 $x ， y ， z$ 均大于1，且 ${log}_{\sqrt{2}} \frac{1}{x} = {log}_{\sqrt{3}} \frac{1}{y} = {log}_{\sqrt{6}} \frac{1}{z}$ ，令 $a = x^{\frac{1}{2}} ， b = y^{\frac{1}{3}} ， c = z^{\frac{1}{6}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (x + 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = \sqrt{- x^{2} + x}$ ，则当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 B、 C、 D、

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11. 下列判断中正确的是（）

A、 “若，则有实数根”的逆否命题是假命题 B、 “ ”是“直线与直线平行”的充要条件 C、命题“ ”是真命题 D、命题“ ”在时是假命题

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2 ， x \leq 2 \\ 1 + {log}_{a} x ， x > 2 \end{matrix} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的最大值是4，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 命题“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 = 0$ ”的否定是．

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14. 若三次函数 $f (x) = \frac{a}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + (a + 1) x + 1$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则实数 $a$ 的值是．

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15. 用小于号连接 $\frac{ln 2018}{2018} ， \frac{ln 2019}{2019}$ 和 $\frac{ln 2}{2}$ ，结果是．

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16. 若直线 $y = 4 x + 4$ 与曲线 $y = m e^{x}$ 有公共点，则实数 $m$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = 2^{x} + (a - a^{2}) \cdot 4^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求满足 $f (x) \geq 0$ 的实数 $x$ 的取值范围；

（Ⅱ）若当 $x \in (- \infty, 1]$ 时，函数 $f (x)$ 的图象总在直线 $y = - 1$ 的上方，求 $a$ 的整数值.

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18. 设 $t \in R$ ，命题 $p :$ “方程 $x^{2} - x + t = 0$ 有实数根”，命题 $q :$ “对任意实数 $x$ ， $| x - 1 | \geq t^{2} - 6$ 恒成立”.

(1)、若 $q$ 为真命题，求 $t$ 的最大值；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题，且 $p \land q$ 为假命题，求 $t$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = | x (a x - 1) | (a \in R ， x \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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20. 我们常常称恒成立不等式 $ln x \leq x - 1$ （ $x > 0$ ，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.

(1)、试证明这个不等式；

(2)、设函数 $φ (x) = a x - ln x - a$ ，且在定义域内恒有 $φ (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的值.

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21. 某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元 $\sim$ 1000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金 $y$ (单位:万元)随收益 $x$ (单位:万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的 $20 %$ .
（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型 $y = f (x)$ ，试确定这个函数的定义域、值域和 $\frac{y}{x}$ 的范围；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型:① $y = \frac{x}{150} + 2$ ；② $y = 4 lg x - 3$ .试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (m + x^{2}) e^{x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $m \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在定义域内的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - ln x$ ，当 $m = 0$ 时，证明：存在唯一 $x_{0} > 0$ ，使 $g^{'} (x_{0}) = 0$ .

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