浙江省湖州市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 的倾斜角是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 8$ ， $a_{6} = 64$ ，则公比q是 $($ $)$

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则一定有 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 若圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ 关于原点对称，则圆 $C_{2}$ 的方程是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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5. 若关于x的不等式 $a x^{2} + b x - 1 > 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则不等式 $b x^{2} + a x - 1 < 0$ 的解集是 $($ $)$

A、 B、或 C、 D、或

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6. 已知不等式 $(x + m y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \geq 9$ 对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是 $($ $)$

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. $《$ 莱因德纸草书 $》$ 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小一份面包是 $($ $)$

A、2个 B、13个 C、24个 D、35个

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8. 在 $△ A B C$ 中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c$ ， $sin C = 2 cos B$ ，则 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n + 1} + S_{n} = 2$ ，则满足 $\frac{1001}{1000} < \frac{S_{2 n}}{S_{n}} < \frac{11}{10}$ 的n的最大值是 $($ $)$

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 过点 $P (- 3 ， 0)$ 作直线 $2 x + (λ + 1) y + 2 λ = 0 (λ \in R)$ 的垂线，垂足为M，已知点 $N (3 ， 2)$ ，则当 $λ$ 变化时， $| M N |$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知两点 $A (\frac{1}{2} ， - 1) ， B (1 ， \frac{1}{2})$ ，则直线AB的斜率k的值是，直线AB在y轴的截距是．

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} ， n \in N^{*} .$ 则 $a_{1} =$ ．

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13. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，此不等式组表示的平面区域的面积为，目标函数 $Z = 2 x - y$ 的最小值为．

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14. 已知a，b都为正实数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3$ ，则ab的最小值是， $\frac{1 + b}{a b}$ 的最大值是．

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15. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y = 0$ 相交于M，N两点，则直线MN的方程是．

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16. 若锐角 $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ， $A B = 5$ ， $A C = 8$ ，则BC边上的中线AD的长是．

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17. 已知 $t \in R$ ，记函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x + 2} - t |$ 在 $[- 1 ， 2]$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，则实数t的值是．

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三、解答题

18. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 3 y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $a x - y + 4 = 0 (a \in R)$ ．
$($ Ⅰ $)$ 若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 平行，求实数a的值；

$($ Ⅱ $)$ 若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 垂直，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标．

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19. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{9} = 45$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列．
$($ Ⅰ $)$ 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

$($ Ⅱ $)$ 若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 a cos C + c = 2 b$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求角A的大小；

$($ Ⅱ $)$ 若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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21. 已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线 $5 x + 12 y + 21 = 0$ 相切，与y轴交于M，N两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ．

$($ Ⅰ $)$ 求圆C的标准方程；

$($ Ⅱ $)$ 过点 $P (0 ， 3)$ 的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若 $| D E | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程；

$($ Ⅲ $)$ 已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得 $\frac{| Q A |}{| Q B |} = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且 $3 a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 4 (n \in N^{*})$ ．
$($ Ⅰ $)$ 使用数学归纳法证明： $a_{n} \geq 3 (n \in N)$ ；

$($ Ⅱ $)$ 证明： $a_{n + 1} > a_{n} (n \in N^{*})$ ；

$($ Ⅲ $)$ 设数列 ${\frac{1}{1 + a_{n}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{4} \leq S_{n} < 1 (n \in N^{*})$ ．

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