广西百色市2018-2019学年高三理数摸底调研考试试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = {log}_{2} (x + 1)}$ ， $B = {x \in N | \frac{2 + x}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $1 + a i = (b + i) (1 + i)$ （ $a, b \in R, i$ 为虚数单位），则复数 $(a + 1) + (b - 4) i$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = \frac{4^{x} + 4^{- x}}{4^{x} - 4^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${log}_{2} (a_{2} + a_{13}) = 4$ ，则该数列的前14项的和 $S_{14} =$ （）

A、52 B、104 C、56 D、112

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5. 设函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象为 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数的最小正周期是 B、图象关于直线对称 C、图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D、函数在区间上是增函数

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6. 若 ${(x^{2} + \frac{2}{x^{3}})}^{n}$ 展开式存在常数项，则 $n$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（）

A、2 B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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8. 在区间 $[0 ， 8]$ 上随机地选择一个数 $p$ ，则方程 $x^{2} - p x + 3 p - 9 = 0$ 有一正根与一负根的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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9. 若直线 $l$ ： $a x - b y + 2 = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 被圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 截得的弦长为4，则当 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 取最小值时直线 $l$ 的斜率为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

①平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D$ ；② $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ；③异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$ ；④三棱锥 $D_{1} - A P C$ 的体积不变.

A、①② B、①②④ C、③④ D、①④

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11. 已知函数 $f (x) = | cos x | (x \geq 0)$ 的图象与过原点的直线恰有两个交点，设这两个交点的横坐标的最大值为 $θ$ （弧度），则 $\frac{(1 + θ^{2}) sin 2 θ}{θ} =$ （）

A、 B、 C、0 D、2

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 ， g (x) = m (x + 1) (m \in R)$ ，若存在唯一的正整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < g (x_{0})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 4$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 2$ ，则向量 $\overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{a}$ 的方向上的投影为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为正项的递增等比数列， $a_{1} + a_{5} = 82$ ， $a_{2} \cdot a_{4} = 81$ ，记数列 ${\frac{2}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则使不等式 $2019 | \frac{1}{3} T_{n} - 1 | > 1$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为.

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15. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq x \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = | x - 3 y |$ 的最大值是.

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16. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线的方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ ，他们有公共焦点，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且两条曲线在第一象限的交点为 $P$ ， $Δ P F_{1} F_{2}$ 是以 $P F_{1}$ 为底边的等腰三角形，若 $| P F_{1} | = 12$ ，椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{e_{1} + e_{2}}{e_{1} e_{2}}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 1 - 2 {sin}^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $c = \sqrt{3}$ ， $f (\frac{C}{2}) = 2$ ， $sin B = 2 sin A$ ，求 $a ， b$ 的值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $Δ D A P$ 为直角三角形且 $D A = D P$ ， $Δ A B P$ 是等边三角形.

(1)、求证： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若 $B A = B D = 2$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

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19. 在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品进行改良，为了检查改良效果，从中随机抽取100件作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 $[10 ， 20]$ ， $(20 ， 30]$ ， $(30 ， 40]$ ， $(40 ， 50]$ ，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、根据样本数据，估计样本中个体的重量的众数与平均值；

(3)、以样本数据来估计总体数据，从改良的农产品中随机抽取3个个体，其中重量在 $[10 ， 20]$ 内的个体的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点重合，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、记抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $H$ ，试问是否存在 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{A F} = λ \overset{⇀}{F B}$ （ $λ \in R$ ），且 $| H A |^{2} + | H B |^{2} = 40$ 都成立？若存在，求实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{e}{e^{x}}, g (x) = a (x^{2} - 1) - ln x$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 对 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ (1 - {cos}^{2} θ) = m cos θ (m > 0)$ ，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 过在平面直角坐标坐标为 $(- 2, - 4)$ 的点 $P$ ，且直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的参数方程；

(2)、若 $\frac{| P A |}{| A B |} = \frac{| A B |}{| P B |}$ ，求 $m$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 a | + | x + 3 | (a \in R)$ ， $g (x) = | x - 3 | + 1$ .

(1)、解不等式 $| g (x) | > 3$ ；

(2)、若对任意 $x_{1} \in R$ ，都有 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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