广东省东莞市2017-2018学年高一下学期数学期末教学质量检查试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $sin 135^{\circ}$ 的值为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， x)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，则x的值为 $($ $)$

A、1 B、2 C、 D、5

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3. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 关于直线 $2 x - y + a = 0$ 对称，则a的值为 $($ $)$

A、 B、 C、0 D、4

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4. 为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号 $01 ～ 52$ ，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是 $($ $)$

A、23 B、27 C、31 D、33

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5. 已知 $α$ 是第四象限角，且 $tan α = - 2$ ，则 $sin 2 α = ($ $)$

A、 B、 C、 D、 $\frac{4}{5}$

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6. 要得到曲线 $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{5})$ ，只需把函数 $y = 3 sin 2 x$ 的图象 $($ $)$

A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位

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7. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为 $($ $)$

A、 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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8. 从集合 ${2 ，$ 3，4， $5}$ 中随机抽取一个数a，从集合 ${4 ，$ 6， $8}$ 中随机抽取一个数b，则向量 $\vec{m} = (a ， b)$ 与向量 $\vec{n} = (1 ， 2)$ 平行的概率为 $($ $)$

A、 B、 $\frac{1}{4}$ C、 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 过原点的直线l与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则直线l的斜率为 $($ $)$

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB= $\frac{π}{3}$ ，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）

A、 B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4})$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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12. 设 $| \vec{O A} | = 2$ ， $| \vec{O B} | = 1$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，且 $λ + μ = 1$ ，则向量 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O P}$ 上的投影的取值范围 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 在空间直角坐标系中，点 $P (2 ，$ 3， $4)$ 到y轴的距离为．

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14. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 为．

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15. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示 $.$ 根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．

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16. 已知 $y = sin θ + 2 cos θ$ ，且 $θ \in (0 ， π)$ ，则当y取得最大值时 $sin θ =$ ．

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三、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, k)$ ．

(1)、当k为何值时，向量 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 垂直；

(2)、当 $k = 1$ 时，设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $tan θ$ 及 $cos 2 θ$ 的值．

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18. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织 $.$ 现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组 $[20 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 30)$ ，第3组 $[30 ， 35)$ ，第4组 $[35 ， 40)$ ，第5组 $[40 ， 45]$ ，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人．

(1)、求该组织的人数．

(2)、若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,$ 2， $\dots 6)$ ，如表所示：

试销单价 $x ($ 元 $)$

4

5

6

7

8

9

产品销量 $y ($ 件 $)$

90

84

83

80

q

68

已知 $\bar{y} = 80$ ．

(1)、求表格中q的值；

(2)、已知变量x，y具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程 $\overset{\hat{}}{y} = \overset{\hat{}}{b} x + \overset{\hat{}}{a} ($ 参考数据 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 3050, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 271)$ ；

(3)、用 $(2)$ 中的回归方程得到的与 $x_{i}$ 对应的产品销量的估计值记为 $\overset{\land}{y_{i}} (i = 1,$ 2， $\dots \dots$ ， $6) .$ 当 $| {\overset{\hat{}}{y}}_{i} - y_{i} | \leq 1$ 时，则称 $(x_{i}, y_{i})$ 为一个“理想数据” $.$ 试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”．

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20. 函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} cos 2 x$ ．

(1)、请把函数 $f (x)$ 的表达式化成 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的形式，并求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时的值域．

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21. 在平面内，已知点 $A (1, 1)$ ，圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ ，点P是圆C上的一个动点，记线段PA的中点为Q．

(1)、求点Q的轨迹方程；

(2)、若直线l： $y = k + 2$ 与Q的轨迹交于M，N两点，是否存在直线l，使得 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 10 (O$ 为坐标原点 $)$ ，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知 $a \geq 1$ ， $f (x) = - sin x cos x + a (sin x + cos x) - 1$ ．

(1)、求当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{3 π}{4}]$ 内有且只有一个零点，求a的取值范围．

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试销单价 $x ($ 元 $)$	4	5	6	7	8	9
产品销量 $y ($ 件 $)$	90	84	83	80	q	68