安徽省定远重点中学2019届高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} - a \geq 0$ ，命题 $q ： \exists x \in R ，使 x^{2} + 2 a x + 2 - a = 0$ ，若命题“ $p$ 且 $q$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k²∉A，且 $\sqrt{k}$ ∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x²)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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3. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 $A B C$ 内的动点 $P ， M$ 满足 $| \overset{⇀}{A P} | = 1$ ， $\overset{⇀}{P M} = \overset{⇀}{M C}$ ，则 ${| \overset{⇀}{B M} |}^{2}$ 的最大值是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设函数f(x)＝ $\frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是（）

A、{0，1} B、{0，－1} C、{－1，1} D、{1，1}

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5. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有（）

A、最小值f(a) B、最大值f(b) C、最小值f(b) D、最大值f

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6. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} a^{x} ， (x > 1) \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， (x \leq 1) \end{matrix}$ 是R上的单调递增函数，则实数的取值范围为（）

A、(1，＋∞) B、[4，8) C、(4，8) D、(1，8)

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7. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |}$ $(0 < a < 1)$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知{a_n}是公差为1的等差数列；S_n为{a_n}的前n项和，若S₈=4S₄ ，则a₁₀=（）

A、 B、 C、10 D、12

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9. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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10. 若函数 $f (x) ＝ \frac{1}{3} x^{3} － \frac{1}{2} {ax}^{2} ＋ (a － 1) x ＋ 1$ 在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是（）

A、a≤2 B、5≤a≤7 C、4≤a≤6 D、a≤5或a≥7

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11. 将函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1} ， x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，则 $φ =$ （）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = (cos 2 x cos x + sin 2 x sin x) sin x$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数 C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} y \geq 1 \\ y \leq 2 x - 1 \\ x + y \leq m \end{matrix}$ ，如果目标函数 $z = x - y$ 的最小值为-1，则实数 $m =$ .

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14. 已知 $\overset{⇀}{O P_{1}}$ ＝(cosθ，sinθ)， $\overset{⇀}{O P_{2}}$ ＝(3－cosθ，4－sinθ)，若 $\overset{⇀}{O P_{1}}$ ∥ $\overset{⇀}{O P_{2}}$ ，则cos2θ＝.

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15. 数列{ $a_{n}$ }的构成法则如下： $a_{1}$ ＝1，如果 $a_{n}$ －2为自然数且之前未出现过，则用递推公式 $a_{n + 1}$ ＝ $a_{n}$ －2.否则用递推公式 $a_{n + 1}$ ＝3 $a_{n}$ ，则 $a_{6}$ ＝.

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16. 若 $cos (α + β) = \frac{1}{5}$ ， $cos (α - β) = \frac{3}{5}$ ，则 $tan α tan β$ =

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三、解答题

17. 已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)、求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；

(2)、求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．

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18. 已知 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的三个内角，其所对的边分别为 $a, b, c$ ,且 $2 {cos}^{2} \frac{A}{2} + cos A = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}, b + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知 $a_{1} = 2$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的图象上，其中n＝1,2,3，….

(1)、证明：数列 ${lg (1 + a_{n})}$ 是等比数列；

(2)、设 $T_{n} = (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n})$ ，求 $T_{n}$ 及数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(3)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n} + 2}$ ，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn＋ $\frac{2}{3 T_{n} - 1}$ ＝1.

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20. 已知函数f(x)＝ax³－3ax，g(x)＝bx²＋clnx，且g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为2y－1＝0.

(1)、求g(x)的解析式；

(2)、设函数G(x)＝ ${\begin{cases} f （ x ）， x \leq 0 ， \\ g （ x ）， x > 0 ， \end{cases}$ 若方程G(x)＝a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数f(x)＝ax²－2x＋1.

(1)、试讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若 $\frac{1}{3}$ ≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；

(3)、在(2)的条件下，求证：g(a)≥ $\frac{1}{2}$ .

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