安徽省定远重点中学2018-2019学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合M＝{x| $\frac{x}{x - 1}$ ≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x²＋1，x∈R}，则M∩N等于（）

A、∅ B、{x|x≥1} C、{x|x>1} D、{x|x≥1或x<0}

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2. 若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $Δ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ ，向量 $m = (\sqrt{3} \sin A ， \sin B)$ ， $n = (\cos B ， \sqrt{3} \cos A)$ ，若 $m \cdot n = 1 + \cos (A + B)$ ，则 $C$ =（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ 且 $a_{1} ， a_{3} ， a_{6}$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ =（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $y = e^{sin x} (- π \leq x \leq π)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增．若实数a满足 $f (2^{| a - 1 |}) > f (- \sqrt{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 将函数y＝sin x的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（）

A、y＝f（x）是奇函数 B、y＝f（x）的周期为π C、 y＝f（x）的图像关于直线x＝对称 D、 y＝f（x）的图像关于点对称

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8. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x} ， g (x) = a x^{2} + b x (a ， b \in R ， a \neq 0)$ ，若 $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列判断正确的是（）

A、当 $a < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} < 0 ， y_{1} + y_{2} > 0$ B、当 $a < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > 0 ， y_{1} + y_{2} < 0$ C、当 $a < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} < 0 ， y_{1} + y_{2} < 0$ D、当 $a < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > 0 ， y_{1} + y_{2} > 0$

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9. 已知 $a = 2^{1.2}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.8}$ ， $c = 2 {log}_{5} 2$ ，则a， b， c的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设函数f(x)＝ ${\begin{matrix} \frac{1}{x} x > 0 ， \\ e^{x} x \leq 0 ， \end{matrix}$ F(x)＝f(x)＋x ， x∈R.F(x)的值域为（）

A、(－∞，1] B、[2，＋∞) C、(－∞，1]∪[2，＋∞) D、(－∞，1)∪(2，＋∞)

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11. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ，则 $cos C$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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12. 若函数 $f (x) ＝ \frac{1}{3} x^{3} － \frac{1}{2} {ax}^{2} ＋ (a － 1) x ＋ 1$ 在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是（）

A、a≤2 B、5≤a≤7 C、4≤a≤6 D、a≤5或a≥7

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二、填空题

13. 设 $m > 1 ，$ 在约束条件 ${\begin{matrix} y \geq x \\ y \leq m x \\ x + y \leq 1 \end{matrix}$ 下，目标函数 $z = x + 5 y$ 的最大值为4，则 $m$ 的值为．

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14. 如图，已知△ABC的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，且 $\overset{⇀}{O H} = m (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C})$ ，则实数m＝.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 m x^{2} + n x + m^{2}$ 在x＝－1时有极值0，则 $m + n$ ＝．

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16. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比 $q = \sqrt{2}$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，记 $T_{n} = \frac{17 S_{n} - S_{2 n}}{a_{n + 1}}, n \in N^{*}$ '，设 $T_{n_{0}}$ 为数列 ${T_{n}}$ 的最大项，则 $n_{0} =$ ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，p：cosB>0；q：函数y＝sin $(\frac{π}{3} + B)$ 为减函数．

(1)、如果p为假命题，求函数y＝sin $\frac{π}{3}$ ＋B的值域；

(2)、若“p且q”为真命题，求B的取值范围．

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18. 已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₃＝15，且a₃＋1为a₁＋1和a₇＋1的等比中项．

(1)、求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；

(2)、设T_n为数列{ $\frac{1}{S_{n}}$ }的前n项和，问是否存在常数m，使T_n＝m[ $\frac{n}{n + 1}$ ＋ $\frac{n}{2 (n + 2)}$ ]，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

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19. $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 对应的三条边长分别是 $a, b, c$ ,且满足 $c sin A + \sqrt{3} a cos C = 0$ ．
（Ⅰ）求 $C$ 的值；

（Ⅱ）若 $cos A = \frac{3}{5}$ , $c = 5 \sqrt{3}$ ，求 $sin B$ 和 $b$ 的值．

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20. 已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x²＋2x＋m.

(1)、求证：函数f(x)－g(x)必有零点；

(2)、设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 3 - 2 l o g_{2} x$ ， $g (x) = l o g_{2} x$ ．

(1)、当 $x \in [1, 4]$ 时，求函数 $h (x) = [f (x) + 1] \cdot g (x)$ 的值域．

(2)、如果对任意的 $x \in [1, 4]$ ，不等式 $f (x^{2}) \cdot f (x) > k \cdot g (x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 设 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$
（I）若 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $o < a < 2$ 时， $f (x)$ 在 $[1 ， 4]$ 的最小值为 $- \frac{16}{3}$ ，求 $f (x)$ 在该区间上的最大值

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