江苏省镇江市2018-2019学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-20 类型：期中考试

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一、填空题

1. 设集合A＝ ${x | x$ $是小于 4 的偶数}$ ，B＝{﹣3，1，2，4}则A $\cap^{}$ B＝．

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} \geq 0$ ”的否定为．

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3. 若复数 $z = \frac{1 + a i}{2 - i}$ ( $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位)是纯虚数，则a＝．

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4. 函数 $y = {log}_{7} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的定义域为．

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5. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝．

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6. 已知函数 $f (x) = a + \frac{1}{4^{x} + 1}$ 是奇函数，则 $f (- 1) + f (0)$ ＝．

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7. 已知e为自然对数的底数，函数 $y = e x - ln x$ 在[1，e]的最小值为．

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4$ 在(﹣1， $+ \infty$ )上是增函数，则 $f (2)$ 的取值范围为．

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9. 将函数 $y = 5 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图像向左平移 $φ$ ( $0 < φ < \frac{π}{2}$ )个单位弧，所得函数图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $φ$ ＝．

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10. 在△ABC中，已知(tanA＋1)(tanB＋1)＝2，则cosC＝．

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11. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y + 1}$ 的最小值为．

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12. 已知函数 $f (x) = x (2^{x} - 2^{- x})$ ，则不等式 $f (- 2) < f (lg x)$ 的解集为．

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13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝ $\frac{tanA}{cosB}$ ＋ $\frac{tanB}{cosA}$ ，则cosC的最小值为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | lg x | ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若函数 $y = 2 f^{2} (x) + 3 m f (x) + 1 - 2 m$ 有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．

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二、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{sin 2 C}{c} = \frac{sinB}{b}$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $sin (B - \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ，求cosA的值．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - k) x + 2 - k$ ．

(1)、解关于x的不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、对任意的 $x \in$ (﹣1，2)， $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} x + {log}_{4} x$ (0＜a≠1)为增函数．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数 $f (x)$ 的定义域为[m，n]，值域为[ $\frac{m}{2}$ ， $\frac{n}{2}$ ]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由．

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18. 如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝ $θ$ ，荷花种植区域的面积为Sm² ．

(1)、求S关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、求S的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + (3 - 6 a) x + 12 a (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求实数a的值；

(2)、若对任意的 $a \in$ [﹣1，1]，不等式 $f (x) < m$ 在 $x \in$ [﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极小值，且 $x_{0} \in$ (0，3)，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = m x^{2}$ ． $m \in R$ ，e为自然对数的底数．

(1)、如果函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在(0， $+ \infty$ )上单调递增，求m的取值范围；

(2)、若直线 $y = k x + 1$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条切线，求实数k的值；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ．

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