江苏省扬州市2018-2019学年高三上学期数学期中调研考试试卷

试卷更新日期：2018-12-20 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知i为虚数单位，若复数z满足 $\frac{z}{1 - 2 i} = 1 + i$ ，则复数z＝．

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2. 函数 $y = \sqrt{4 - 2^{x}}$ 的定义域为．

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3. 已知x ， y $\in$ R，直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 与直线 $x + a y + 2 = 0$ 垂直，则实数a的值为．

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4. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且x＞0时， $f (x) = x^{3} + x^{2}$ ，则 $f (- 1)$ ＝．

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{m} =$ (1，a)， $\overset{⇀}{n} =$ ( $\frac{4}{a}$ ， $3 a + 1$ )，若 $\overset{⇀}{m}$ ∥ $\overset{⇀}{n}$ ，则实数a＝．

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6. 设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a ， b ， c ，若 $a = 2 \sqrt{6}$ ， $b = 6$ ，cosB＝ $- \frac{1}{2}$ ，那么角A的大小为．

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7. 设实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{cases} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x + 2 y \geq 1 \end{cases}$ 则 $3 x + 2 y$ 的最大值为．

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

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9. 已知条件p：x＞a ，条件q： $\frac{1 - x}{x + 2} > 0$ ．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．

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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为．

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11. 若函数 $f (x) = Asin (ω x + φ)$ (A＞0， $ω$ ＞0， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图像如图所示，则函数 $f (x)$ 在[ $- π$ ，0]上的单调增区间为．

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12. 在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为 $\sqrt{6} + 1$ ，AC＝ $\sqrt{5}$ ，tanC＝2，则 $(\overset{⇀}{AH} + \overset{⇀}{BC}) \cdot (\overset{⇀}{GB} + \overset{⇀}{GC})$ ＝．

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13. 已知正实数a ， b满足 $2 a + b = 3$ ，则 $\frac{2 a^{2} + 1}{a} + \frac{b^{2} - 2}{b + 2}$ 的最小值是．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} x - x^{2}$ ， $g (x) = ln x - a x + 5$ （e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的 $x_{0} \in$ (0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $g (x_{1})$ ＝ $g (x_{2})$ ＝ $f (x_{0})$ ，则整数a的取值集合是．

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二、解答题

15. 在△ABC中，已知 $\sqrt{3} \overset{⇀}{AB} \cdot \overset{⇀}{AC} = | \overset{⇀}{AB} | | \overset{⇀}{AC} |$ ，设∠BAC＝ $α$ ．

(1)、求tan $α$ 的值；

(2)、若 $cos β = \frac{3}{5}$ ， $β \in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求cos( $β$ ﹣ $α$ )的值．

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16. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a - \frac{1}{| x |}$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 2 x$ 对 $x \in$ (0，2)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、当a＝1时，解不等式 $f (x) \geq 2 x$ ．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $x - 3 y - 10 = 0$ 与圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切．

(1)、直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，求直线l的方程；

(2)、已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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18. 江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 $\sqrt{2}$ km ， $2 \sqrt{2}$ km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为 $\sqrt{10}$ km ．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为 $θ$ （ $θ \in$ (0， $\frac{π}{4}$ )），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．

(1)、求南京园到柏油路的最短距离 $d_{1}$ 关于 $θ$ 的表达式；

(2)、求y的最小值及此时tan $θ$ 的值．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、假设直线l： $y = k x + m$ 与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且 $\overset{⇀}{ON} = \frac{\sqrt{6}}{2} \overset{⇀}{OM}$ ，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且 $\overset{⇀}{OA} \cdot \overset{⇀}{OB} = λ$ ，当 $\frac{4}{5} \leq λ \leq \frac{5}{6}$ 时，求△OAB的面积S的范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点P(1， $f (1)$ )处的切线方程；

(2)、若关于x的不等式 $f^{2} (x) + t f (x) > 0$ 有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；

(3)、若 $h (x) = g (x) + 4 x f (x)$ 存在两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $h (x_{1}) + h (x_{2}) - x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 0$ ，求证： $x_{1} + x_{2} \geq 3$ ．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + 1$ 在矩阵 $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ 对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数 $k$ 的值.

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22. 假定某人在规定区域投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.

(1)、求连续命中2次的概率；

(2)、设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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23. 如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=A₁C=2，平面ACC₁A₁⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为 $x$ 轴，直线AC为 $y$ 轴，直线DA₁为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：

(1)、求异面直线AB与A₁C所成角的余弦值；

(2)、求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值.

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24. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证: $0 < a_{1} < 1$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} \leq \frac{1}{n + 2}$ ；

(2)、求证: $\sum_{i = 2}^{n} a_{i} < ln (n + 1)$ .

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