江苏省南通市2017届高三第二次调研测试数学试卷

试卷更新日期：2017-04-01 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {0 ， 3 ， 4}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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2. 已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的模是．

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3.
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 $S$ 是．

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4. 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是．
纤维长度
频数
[22.5，25.5)
3
[25.5，28.5)
8
[28.5，31.5)
9
[31.5，34.5)
11
[34.5，37.5)
10
[37.5，40.5)
5
[40.5，43.5]
4

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5. 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点的距离为3，则点 $P$ 的横坐标是．

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7. 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．

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8. 函数 $f (x) = \sqrt{\lg (5 - x^{2})}$ 的定义域是．

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和．若 $a_{2} a_{3} = a_{4} a_{5}$ ， $S_{9} = 27$ ，则 $a_{1}$ 的值是．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 6)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 9$ ．若圆心在 $x$ 轴上的圆 $C$ 同时平分圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的圆周，则圆 $C$ 的方程是．

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11. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $B D$ 的中点，且OA=3，OC=5．若 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = - 7$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{D C}$ 的值是

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12. 在△ $A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C^{2} - B C^{2} = 6$ ，则 $\tan C$ 的最大值是．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} - x + m ， x < 0 ， \\ x^{2} - 1 ， x \geq 0 ， \end{cases}$ 其中 $m > 0$ ．若函数 $y = f (f (x)) - 1$ 有3个不同的零点，则m的取值范围是．

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14. 已知对任意的 $x \in R$ ， $3 a (\sin x + \cos x) + 2 b \sin 2 x \leq 3 (a ， b \in R)$ 恒成立，则当 $a + b$ 取得最小值时， $a$ 的值是．

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二、解答题

15. 已知 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ．求：

(1)、 $\cos α$ 的值；

(2)、 $\sin (2 α - \frac{π}{4})$ 的值．

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16.
如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，A₁B与AB₁交于点D，A₁C与AC₁交于点E．求证：

(1)、DE∥平面B₁BCC₁；

(2)、平面 $A_{1} B C$ $⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ．

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17.
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

(1)、若点 $C$ 的坐标为 $(2 ， \frac{5}{3})$ ，求a，b的值；

(2)、设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且 $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，求直线AB的斜率．

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18.
一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（参考数据： $\sin 17$ ° $\approx \frac{\sqrt{3}}{6}$ ， $\sqrt{33} \approx 5.7446$ ）

(1)、若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；

(2)、问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}}$ ， $g (x) = \ln x$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、求函数 $y = f (x) g (x)$ 在x $=$ 1处的切线方程；

(2)、若存在 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $g (x_{1}) - g (x_{2}) = λ [f (x_{2}) - f (x_{1})]$ 成立，其中 $λ$ 为常数，
求证： $λ > e$ ；

(3)、若对任意的 $x \in (0 ， 1]$ ，不等式 $f (x) g (x) \leq a (x - 1)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n $(n \in N^{*})$ ，且满足：
① $| a_{1} | \neq | a_{2} |$ ；② $r (n - p) S_{n + 1} = (n^{2} + n) a_{n} + (n^{2} - n - 2) a_{1}$ ，其中 $r ， p \in R ，$ 且 $r \neq 0$ ．

(1)、求p的值；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 能否是等比数列？请说明理由；

(3)、求证：当r $=$ 2时，数列 ${a_{n}}$ 是等差数列．

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三、选做题

21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D， $∠ A C B = ∠ A D C$ ．
求证： $A D \cdot B C = 2 A C \cdot C D$ ．

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22. B．[选修4-2：矩阵与变换]
设矩阵 $A$ 满足： $A$ $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \end{matrix}] =$ $[\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 0 & 3 \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ ．

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23. C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 ${\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} l ， \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} l \end{cases}$ （l为参数）与曲线 ${\begin{cases} x = \frac{1}{8} t^{2} ， \\ y = t \end{cases}$ （ $t$ 为参数）相交于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $A B$ 的长．

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24. [选修4-5：不等式选讲]
设 $x ， y ， z$ 均为正实数，且 $x y z = 1$ ，求证： $\frac{1}{x^{3} y} + \frac{1}{y^{3} z} + \frac{1}{z^{3} x} \geq x y + y z + z x$ ．

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四、必做题

25. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

(1)、求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

(2)、假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和 $X$ 的概率分布及数学期望．

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26. 设 $n \geq 2 ， n \in N^{*}$ ．有序数组 $(a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n})$ 经m次变换后得到数组 $(b_{m ， 1} ， b_{m ， 2} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{m ， n})$ ，其中 $b_{1 ， i} = a_{i} + a_{i + 1}$ ， $b_{m ， i} = b_{m - 1 ， i} + b_{m - 1 ， i + 1}$ （ $i =$ 1，2， $\cdot \cdot \cdot$ ，n）， $a_{n + 1} = a_{1}$ ， $b_{m - 1 ， n + 1} = b_{m - 1 ， 1}$ $(m \geq 2)$ ．
例如：有序数组 $(1 ， 2 ， 3)$ 经1次变换后得到数组 $(1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1)$ ，即 $(3 ， 5 ， 4)$ ；经第2次变换后得到数组 $(8 ， 9 ， 7)$ ．

(1)、若 $a_{i} = i (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，求 $b_{3 ， 5}$ 的值；

(2)、求证： $b_{m ， i} = \sum_{j = 0}^{m} a_{i + j} C_{m}^{j}$ ，其中 $i =$ 1，2， $\cdot \cdot \cdot$ ，n．（注：当 $i + j = k n + t$ 时， $k \in N^{*}$ ， $t =$ 1，2， $\cdot \cdot \cdot$ ，n，则 $a_{i + j} = a_{t}$ ．）

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纤维长度	频数
[22.5，25.5)	3
[25.5，28.5)	8
[28.5，31.5)	9
[31.5，34.5)	11
[34.5，37.5)	10
[37.5，40.5)	5
[40.5，43.5]	4