江苏省盐城市2018-2019学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-19 类型：期中考试

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一、填空题

1. 若全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁_UA＝．

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2. 函数 $y = \sqrt{ln x}$ 的定义域为．

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3. 若钝角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )，则tan $α$ ＝．

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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝．

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (1$ ， $- 1)$ ， $\overset{⇀}{n} = (cos α$ ， $sin α)$ ，其中 $α \in [0$ ， $π]$ ，若 $\overset{⇀}{m}$ ∥ $\overset{⇀}{n}$ ，则 $α$ ＝．

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 6$ ， $S_{7} = 49$ ，则公差d＝．

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7. 在平面直角坐标系中，曲线 $y = e^{x} + 2 x + 1$ 在x＝0处的切线方程是．

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8. 设函数 $f (x) = \frac{k - 2^{x}}{1 + k \cdot 2^{x}}$ ，则k＝﹣1是函数 $f (x)$ 为奇函数的条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）

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9. 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝ $\frac{π}{3}$ ，点D为BC上一点，若 $\overset{⇀}{AB} \cdot \overset{⇀}{AD} = 2 \overset{⇀}{AC} \cdot \overset{⇀}{AD}$ ，则AD＝．

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10. 若函数 $f (x) = | sin 3 x | - m (0 < m < 1)$ 的所有正零点构成公差为d(d＞0)的等差数列，则d＝．

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11. 如图，在四边形ABCD中，A＝ $\frac{π}{3}$ ，AB＝2，AD＝3，分别延长CB、CD至点E、F，使得 $\overset{⇀}{CE} = λ \overset{⇀}{CB}$ ， $\overset{⇀}{CF} = λ \overset{⇀}{CD}$ ，其中 $λ$ ＞0，若 $\overset{⇀}{EF} \cdot \overset{⇀}{AD} = 15$ ，则 $λ$ 的值为．

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12. 已知函数 $f (x) = (x + m) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - (m + 1) x$ 在R上单调递增，则实数m的取值集合为．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n} + 3 a_{n + 1} + 2 = 0$ ，其中 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，设 $b_{n} = \frac{n - λ}{a_{n} + 1}$ ，若 $b_{3}$ 为数列 ${b_{n}}$ 中唯一最小项，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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14. 在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S_△_ABC＝1，P₀为线段BC上一定点，且满足CP₀＝ $\frac{1}{3}$ BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有 $\overset{⇀}{PA} \cdot \overset{⇀}{PC} \geq \overset{⇀}{P_{0} A} \cdot \overset{⇀}{P_{0} C}$ ，则线段BC的长为．

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二、解答题

15. 若函数 $f (x) = sin (a x + \frac{π}{3}) + b$ (a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 在[0， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值和最小值．

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16. 已知命题p：函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m$ 的图象与x轴至多有一个交点，命题q： ${|log}_{2} m$ $- 1 | \leq 1$ ．

(1)、若 $\neg$ q为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若p $\lor$ q为假命题，求实数m的取值范围．

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17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} cosC - sinC = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝ $2 \sqrt{2}$ ，求△ABC的面积．

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18. 如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为 $L$ ．

(1)、①设∠ACO＝ $θ$ ，求出 $L$ 关于 $θ$ 的函数关系式 $L (θ)$ ；②设AB＝2x米，求出 $L$ 关于x的函数关系式 $L (x)$ ．

(2)、若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 是公比为4的等比数列，且 $b_{1} - a_{1}$ ， $b_{2} - a_{2}$ ， $b_{3} - a_{3}$ 也是等比数列，若数列 ${\frac{a_{n} + λ}{b_{n}}}$ 单调递增，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 都是等比数列，且满足 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ ，试证明：数列 ${c_{n}}$ 中只存在三项．

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20. 若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极大值或极小值，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的极值点．设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 1 - a - b$ ， $g (x) = k (x - 1)$ ，a，b，k $\in$ R．

(1)、若 $g (x)$ 为 $f (x)$ 在x＝1处的切线．①当 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}$ · $x_{2}$ ＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的图象只有一个交点，求a的值；

(2)、若对满足“函数 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k满足的条件．

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