江苏省连云港市2018-2019学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-19 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知集合A={1，3}，B={1，2，m}，若 A $\subseteq$ B，则实数 m＝．

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2. 求 log₂1+ log₄2 = ＝

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3. 若 tanα= $\frac{1}{2}$ ，且角α的终边经过点 P(x ， 1)，则 x＝

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4. 命题：“ $\exists$ x > 1， x² - 2 > 0”是命题．（填“真”、“假’”）

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5. 已知函数 f(x) = $\frac{（ 1 － x) (a + x)}{x}$ 是奇函数，则 f(x) < 0 的解集为

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ = (1， 2)， $\overset{⇀}{b}$ = (m－1， m)，若 $\overset{⇀}{a}$ $\cdot \overset{⇀}{b}$ = 2，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角的余弦值为＝

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7. 已知直线 y = kx- 2 与曲线 y = xlnx 相切，则实数 k 的值为

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8. 已知实数详，x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 > 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ 则当2x－y取得最小值时，x² +y²的值为

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9. 已知双曲线 x² - y² = 1 的一条渐近线被圆 C：(x- 2)² + y² = r²(r > 0) 截得的线段长为2 $\sqrt{2}$ ，则圆 C 的半径r＝

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10. 若函数 f(x) = 3sin(x+ $\frac{π}{2}$ ) 与 g(x) = 8tanx 的图象在区间 (0， $\frac{π}{2}$ ) 上交点的横坐标为 x₀ ，则 cos2x₀ 的值为

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11. 已知 $a$ 为正常数， $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + a x + 3 ， x \geq 0 ， \\ 2^{x} + a ， x < 0. \end{matrix}$ ，若 $\exists x_{1} ， x_{2} \in R ，$ 使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12. 在三角形 $A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 1 ， ∠ A = \frac{2 π}{3} ， A D$ 是 $∠ A$ 的角平分线，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A B}$ =.

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13. 椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个顶点 $A (a ， 0) ， B (0 ， b) ，$ 过A，B分别作与 $A B$ 垂直的直线交椭圆 $T$ 与 $D ， C$ ，若 $B C = 3 A D$ ，则椭圆的离心率.

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14. 在三角形 $A B C$ 中， $A B + B C = 4 ， tan \frac{B}{2} = \frac{sin A}{4 - cos A}$ ，则当角 $B$ 最大时，三角形 $A B C$ 的面积为.

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二、解答题

15. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ = (1，2sinθ)， $\overset{⇀}{b}$ = (sin(θ+ $\frac{π}{3}$ )，1)，θ $\in$ R。

(1)、若 $\overset{⇀}{a}$ ⊥ $\overset{⇀}{b}$ ，求 tanθ的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a}$ ∥ $\overset{⇀}{b}$ ，且 θ $\in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 θ的值

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16. 设二次函数 f(x) = ax² +bx+c，函数 F(x) = f(x)－x 的两个零点为 m，n(m < n)．

(1)、若 m =－1， n = 2，求不等式 F(x) > 0 的解集；

(2)、若 a >0，且 0 < x < m < n < $\frac{1}{a}$ ，比较 f(x) 与 m 的大小

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17. 已知椭圆 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以短轴为直径的圆被直线 x+y－1 = 0 截得的弦长为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆 C 的方程；

(2)、设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， D 为椭圆右准线 l 与 x 轴的交点， E 为 l上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点F，是否存在点 E，使 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{F D} (λ \in$ R)? 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由

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18. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

(1)、如图，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向 C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；

(2)、如图，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，－4) 处运动?

(3)、若 A 的位置为 (0，a) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4 $\sqrt{2}$ ， 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7 $\sqrt{2}$ ，-5 $\sqrt{2}$ )，求 a 的最小值（只需要写出结果即可）

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19. 对于函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ ，若存在实数 $x_{\circ}$ 满足 $f (x_{\circ}) \geq g (x_{\circ})$ ，且 $| f (x_{\circ}) | \geq | g (x_{\circ}) |$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x) \geq g (x)$ 的一个 $T$ 点.

(1)、证明：函数 $f (x) = - | x |$ 与 $g (x) = - | x | - 1$ 不存在 $f (x) \geq g (x)$ 的 $T$ 点；

(2)、若函数 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = ln x$ 存在 $f (x) \geq g (x)$ 的 $T$ 点 $x_{0}$ ，求 $x_{0}$ 的范围；

(3)、已知函数 $f (x) = a x^{2} ， g (x) = a cos x + ln x + 1 (a > 0)$ ，证明：存在正实数 $m$ ，对于区间 $(m ， + \infty)$ 内任意一个 $x_{0}$ 皆是函数 $f (x) \geq g (x)$ 的 $T$ 点.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} ， g (x) = a x + \frac{1}{x} + 1$ （其中 $a > 0$ ）

(1)、求 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $F (x) = f (x) \cdot g (x) ，$ $F^{/} (x)$ 只有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），求 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值.

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