辽宁省大连市旅顺口区2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 < x < 1} ， B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列四个命题中的真命题是（）

A、∀x∈R，x²＋3<0 B、∀x∈N，x²>1 C、 ∃x∈Z，使 D、∃x∈Q，x²＝3

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4. 已知集合 $M = {x \in R | a x^{2} + 2 x - 1 = 0}$ ，若 $M$ 中只有一个元素，则 $a$ 的值是（）

A、 B、 C、或 D、或

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5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）．

A、 B、 C、 D、，

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 1]$ ， $y = \frac{f (2 x + 1)}{x}$ 的定义域为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (2 x + 1) = 4 x^{2}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、36 B、26 C、16 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{x} - 2^{x}$ ，在下列区间中，函数 $f (x)$ 存在零点的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列叙述中正确的是（）

A、若a，b，c∈R，则“ax²＋bx＋c≥0”的充分条件是“b²－4ac≤0” B、若a，b，c∈R，则“ab²＞cb²”的充要条件是“a＞c” C、命题“对任意x∈R，有x²≥0”的否定是“存在x∈R，有x²≥0” D、若p：x<3，q：－1

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} x, x > 0 \\ 9^{- x} + 1, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1)) + f ({log}_{3} \frac{1}{2})$ 的值是（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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11. 函数 $f (x) = \frac{x \cdot 2^{x}}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 若对于任意 $x \in (- \infty ， - 1]$ ，都有 $(3 m - 1) 2^{x} < 1$ 成立，则 $m$ 的范围是（）

A、 B、 C、（-∞，1） D、

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{x}{2 - x} \leq 3$ 的解集是.

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14. 已知全集U={0，1，2，3，4，5}， $A \subseteq U$ , $B \subseteq U$ , $(C_{U} A) \cap^{} B = {0, 4}$ ， $(C_{U} A) \cap^{} (C_{U} B) = {3, 5}$ ,则用列举法表示集合A=.

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15. 已知函数 $y = a^{x - 2} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点 $(m ， n)$ ，则 $m + n =$ .

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16. 数学老师给出一个函数 $f (x)$ ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质
甲：在 $(- \infty, 0]$ 上函数单调递减；

乙：在 $[0, + \infty)$ 上函数单调递增；

丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；

丁： $f (0)$ 不是函数的最小值.

老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为说的是错误.

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：
（Ⅰ） ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- π)}^{0} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(1.5)}^{- 2}$

（Ⅱ） ${log}_{5} 25 + lg \frac{1}{100} + ln \sqrt{e} + 2^{{log}_{2} 3}$ .

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18. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}, B = {x | 2^{3 x - 7} \geq {(\frac{1}{2})}^{2 x - 5}}$ ，
（Ⅰ）求 $A \cup^{} B, (C_{U} A) \cap^{} B$ ；

（Ⅱ）若集合 $C = {x | 2 x + a 〉 0}$ ，且 $B \cup^{} C = C$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 设命题p：实数x满足x²－4ax＋3a²<0，其中a>0；命题q：实数x满足x²－5x＋6≤0.
（Ⅰ）若a＝1，且p、q均为真命题，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）若 $\neg q$ 是 $\neg p$ 成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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20. 如图所示，定义域为 $(- \infty ， 2]$ 上的函数 $y = f (x)$ 是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x$ 关于的方程 $f (x) = a$ 有三个不同解，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \frac{9}{8}$ ，求 $x$ 的取值集合.

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21. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．

(1)、写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；

(2)、把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试求：当 $\frac{m}{n}$ 为何值时，价值损失的百分率最大． (注：价值损失的百分率＝ $\frac{原有价值 - 现有价值}{原有价值} \times 100 %$ ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

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22. 已知：函数 $f (x)$ 对一切实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y + 1)$ 成立，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、已知 $a \in R$ ,设 $P :$ 当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，不等式 $f (x) + 3 < 2 x + a$ 恒成立； $Q :$ 当 $x \in [- 2, 2]$ 时， $g (x) = f (x) - a x$ 是单调函数.如果满足 $P$ 成立的 $a$ 的集合记为 $A$ ，满足 $Q$ 成立的 $a$ 的集合记为 $B$ ，求 $A \cap^{} C_{R} B (R$ 为全集）.

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