2016-2017学年天津市红桥区高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. （设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x²＜1，x∈R}，则M∩N=（）

A、[0，1] B、（0，1） C、（0，1] D、[0，1）

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2. 甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 $\sqrt{3}$ ，则p=（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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5. 若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（）

A、a∥β且α⊥β B、a⊂β且α⊥β C、a⊥b且b∥α D、a⊥β且α∥β

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6. 已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）= $\frac{1}{2}$ ，tanβ=﹣ $\frac{1}{7}$ ，则2α﹣β的值是（）

A、﹣ $\frac{π}{4}$ B、﹣ $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7. 已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则 $\vec{P D}$ • $\vec{P C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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8. 设方程（m+1）|e^x﹣1|﹣1=0的两根分别为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），方程|e^x﹣1|﹣m=0的两根分别为x₃ ， x₄（x₃＜x₄）．若m∈（0， $\frac{1}{2}$ ），则（x₄+x₁）﹣（x₃+x₂）的取值范围为（　　）

A、（﹣∞，0） B、（﹣∞，ln $\frac{3}{5}$ ） C、（ln $\frac{3}{5}$ ， 0） D、（﹣∞，﹣1）

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二、填空题

9. i为虚数单位，复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ = ．

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10. 直线ax+y+1=0被圆x²+y²﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．

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11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i= ．

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12. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=b² ，则 $\frac{\sin A}{\sin B}$ = ．

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13. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 2 \\ x - y \geq - 1 \\ x + y \geq 1 \end{matrix}$ ，若目标函z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则a的取值范围是．

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14. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{4}{x} + 1 ， x \geq 4 \\ \log_{2} x ， 0 < x < 4 \end{matrix}$ 若f（a）=f（b）=c，f′（b）＜0，则a，b，c的大小关系是．

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三、解答题

15. 设函数f（x）=sinxcosx﹣sin²（x﹣ $\frac{π}{4}$ ）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x﹣ $\frac{π}{6}$ ）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值与最小值．

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16. 如图，在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，直角梯形AA₁C₁C通过直角梯形AA₁B₁B以直线AA₁为轴旋转得到，且使得平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B．点M为线段BC的中点，点P是线段BB₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣B的余弦值．

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17. 在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n ，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q= $\frac{S_{2}}{b_{2}}$
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n= $\frac{1}{S_{n}}$ ，求{c_n}的前n项和T_n ．

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18. 数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=2a_n﹣n（n∈N^*）．

(1)、求证：数列{a_n+1}成等比数列；

(2)、求数列{a_n}的通项公式；

(3)、数列{a_n}中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．

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19. 已知点P（ $\sqrt{2}$ ，1）和椭圆C： $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1．

(1)、设椭圆的两个焦点分别为F₁ ， F₂ ，试求△PF₁F₂的周长及椭圆的离心率；

(2)、若直线l： $\sqrt{2}$ x﹣2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，设直线PA与PB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证：k₁+k₂=0．

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20. 已知函数f（x）=[ax²﹣（2a+1）x+a+2]e^x（a∈R）．

(1)、当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性；

(2)、设g（x）= $\frac{b x^{2}}{\ln x^{2}}$ ，当a=1时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（1，2），使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

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