2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知复数z=3﹣4i（i是虚数单位），则复数 $\frac{\bar{z}}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2. 已知集合P={x|1＜3^x≤9}，Q={x∈Z|y=ln（﹣2x²+7x）}，则P∩Q=（）

A、{1} B、{1，2} C、{2，3} D、{1，2，3}

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{| 6 - x | - 6}$ ，则函数的奇偶性为（）

A、既是奇函数也是偶函数 B、既不是奇函数也不是偶函数 C、是奇函数不是偶函数 D、是偶函数不是奇函数

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4. 在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若 $\vec{A C} \cdot \vec{B E}$ =3，则AB的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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5. 已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln $\frac{x}{2}$ ，且b $\int_{1}^{b}$ $\frac{1}{x^{3}}$ dx=2f'（a）+ $\frac{1}{2} b$ ﹣1，则a+b的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2} + 2 \sqrt{2}$

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6. 已知x，y都是实数，命题p：|x|＜3；命题q：x²﹣2x﹣3＜0，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 若变量x，y满足条 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x + 2 y \geq 1 \\ x + 4 y \leq 3 \end{matrix}$ ，则z=（x+1）²+y²的最小值是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 若f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ| $< \frac{π}{2}$ ）的图象如图，为了得到的图象，则需将f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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9. 已知双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个顶点是抛物线C₁：y²=2x的焦点F，两条曲线的一个交点为M，|MF|= $\frac{3}{2}$ ，则双曲线C₂的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{5} (1 - x) (x < 1) \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 (x \geq 1) \end{matrix}$ ，则方程f（|x|）=a（a∈R）实根个数不可能为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4 个

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二、填空题。

11. 若奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）=﹣f（x）且f（﹣1）=6，则f（2017）= ．

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12. 若（ax²+ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁵的展开式中常数是﹣80，则实数a= ．

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13. 某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为

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14. 已知 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 为单位向量，且夹角为60°，若 $\vec{a}$ = $\vec{c}$ +3 $\vec{d}$ ， $\vec{b}$ =2 $\vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为．

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15. 给出以下四个结论：
①函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的对称中心是（﹣1，2）；
②若关于x的方程 $x - \frac{1}{x} + k = 0 在 x \in (0 ， 1)$ 没有实数根，则k的取值范围是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；
④若 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是 $\frac{π}{12}$ ．
其中正确的结论是．

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三、解答题。

16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ ．

(1)、求f（x）单调递增区间；

(2)、△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > \sqrt{3} b c$ ，求f（A）的取值范围．

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17. 某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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18. 在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且 $P B = \sqrt{10}$ ．

(1)、求证：BD⊥平面POA；

(2)、求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．

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19. 已知等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差也为q，且a₁+2a₂=3a₃ ．
（Ι）求q的值；
（II）若数列{b_n}的首项为2，其前n项和为T_n ，当n≥2时，试比较b_n与T_n的大小．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

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21. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．

(1)、求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

(2)、若存在x₀∈[ $\frac{1}{e}$ ，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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