2016-2017学年广东省韶关市高三上学期期末数学试卷（文科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题。

1. 复数z=1﹣2i， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则复平面内复数z• $\bar{z}$ ﹣i对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合S={x|x²﹣5x+6≥0}，T={x|x＞1}，则S∩T=（）

A、[2，3] B、（1，2]∪[3，+∞） C、[3，+∞） D、（0，2]∪[3，+∞）

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3. 已知α为第二象限角，sin（π+α）=﹣ $\frac{1}{3}$ ，则tanα=（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 3 x^{2} - x ， x \leq 2 \\ \frac{1}{2 - x} ， x > 2 \end{matrix}$ ，则f（f（﹣3））的值为（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、﹣ $\frac{1}{28}$ C、 $\frac{1}{28}$ D、﹣ $\frac{1}{32}$

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5. 设双曲线以椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}$ =1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）

A、± $\frac{5}{4}$ B、± $\frac{4}{3}$ C、± $\frac{4}{5}$ D、± $\frac{3}{4}$

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6. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）

A、6 $\sqrt{2}$ +4 $\sqrt{5}$ B、6 $\sqrt{2}$ +2 $\sqrt{5}$ C、3 $\sqrt{2}$ +4 $\sqrt{5}$ D、3 $\sqrt{2}$ +2 $\sqrt{5}$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出S=（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{21}{11}$ C、 $\frac{13}{9}$ D、 $\frac{17}{9}$

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8. 下列函数中，最小正周期为π且在（0， $\frac{π}{2}$ ）是减函数的是（）

A、y=cos（2x+ $\frac{π}{2}$ ） B、y=|sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）| C、y=2cos²x﹣3 D、y=﹣tan2x

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9. 若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y - 3 \leq 0 \\ x \geq m \end{matrix}$ ，则实数m的最大值为（）

A、﹣1 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+ $\sqrt{2}$ ），则该外接球的表面积是（）

A、4π B、12π C、24π D、36π

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11. 已知函数y=f（x=2）是偶函数，且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜3，则下列不等式式成立的是（）

A、f（2^a）＜f（3）＜f（log₂^a） B、f（3）＜f（log₂^a）＜f（2^a） C、f（log₂^a）＜f（3）＜f（2^a） D、f（log₂^a）＜f（2^a）＜f（3）

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12. 如图，某地区有四个公司分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=1km，BC=2km，四个公司商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在直线BC，CD上运动，∠MAN=30°，设∠BAM=α，当三角AMN的面积最小时，此时α=（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（m，1）， $\vec{b}$ =（1﹣n，2），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则2m+n= ．

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14. 在钝角三角形△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=30°，a=4，b=4 $\sqrt{3}$ ，则边c的长为．

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15. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为．

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16. 已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若圆心在直线x﹣y﹣1=0上且半径为1的动圆P上存在一点Q满足|QA|=2|QB|，则点P横坐标a的取值范围为．

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三、解答题。

17. 设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和S_n ．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2DC=4 $\sqrt{5}$ ．
（Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

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19. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小．

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20. 已知点P（2，1）与Q关于原点O对称，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣ $\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过P作直线l交轨迹C于另一点A，求DPAO的面积的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e^x
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，9]为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l₁ ， l₂ ，已知两切线的斜率互为倒数，证明： $\frac{e - 1}{e}$ ＜a＜ $\frac{e^{2} - 1}{e}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$
（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．

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23. 已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）
（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[ $\frac{3}{4}$ ，2]⊆A，求实数m的取值范围．

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