2016-2017学年广东省东莞市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合 A={x|x²﹣x﹣2＞0}，B={x|1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、[1，2） B、（1，3] C、[1，2] D、（2，3]

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2. 若复数z 满足z（1+i）=﹣2i（i为虚数单位）， $\bar{z}$ 是z 的共轭复数，则 $\bar{z}$ •z=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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3. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（）

A、g（x）为奇函数 B、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、关于点（π，0）对称 D、在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上递增

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4. 设D为△ABC所在平面内一点， $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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5. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 $a_{i}$ 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 $m$ ， $n$ 分别是（）

A、 $m = 38$ ， $n = 12$ B、 $m = 26$ ， $n = 12$ C、 $m = 12$ ， $n = 12$ D、 $m = 24$ ， $n = 10$

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6. 《九章算术•均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）

A、 $\frac{4}{3}$ 钱 B、 $\frac{5}{4}$ 钱 C、 $\frac{6}{5}$ 钱 D、 $\frac{7}{6}$ 钱

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7. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 3^{x} ， (x \leq 1) \\ \log_{\frac{1}{3}} x ， (x > 1) \end{matrix}$ ，则函数 y=f （1﹣x）的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（）

A、0.352 B、0.432 C、0.36 D、0.648

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9. 对于实数m＞﹣3，若函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 图象上存在点（x，y）满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 3 \geq 0 \\ x + 2 y + 3 \geq 0 \\ x \leq m \end{matrix}$ ，则实数m 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣1 C、﹣ $\frac{3}{2}$ D、﹣2

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10. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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11. 已知数列 {a_n} 的前 n 项和为S_n ， S₁=6，S₂=4，S_n＞0且S_2n ， S_2n_﹣₁ ， S_2n₊₂成等比数列，S_2n_﹣₁ ， S_2n₊₂ ， S_2n₊₁成等差数列，则a₂₀₁₆等于（）

A、﹣1009 B、﹣1008 C、﹣1007 D、﹣1006

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12. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c有两个极值点x₁ ， x₂ ，若x₂＜f（x₁）＜x₁ ，则关于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同实根个数可能为（）

A、3，4，5 B、4，5，6 C、2，4，5 D、2，3，4

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ =（x，2）， $\vec{b}$ =（1，﹣1），且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\sqrt{2}$ ，则x的值是．

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14. （a+ $\frac{1}{x}$ ）（1﹣x）⁴的展开式中含x项的系数为﹣6，则常数a= ．

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15. 轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是．

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16. 在△ABC中，∠ACB=120°，D是 AB 上一点，满足∠ADC=60°，CD=2，若CB $\geq \sqrt{6}$ ，则∠ACD的最大值为．

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三、解答题

17. 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 $\sqrt{3}$ a= $\sqrt{3}$ b cosC+c sinB．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若点M 为BC的中点，且 AM=AC，求sin∠BAC．

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18. 设S_n为各项不相等的等差数列a_n的前n 项和，已知a₃a₈=3a₁₁ ， S₃=9．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n= $\frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，数列{b_n}的前n 项和为T_n ，求 $\frac{a_{n + 1}}{T_{n}}$ 的最小值．

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19. 在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，∠CAD=90°，EF∥BC，EF= $\frac{1}{2}$ BC，AC= $\sqrt{2}$ ，AE=EC=1．

(1)、求证：CE⊥AF；

(2)、若二面角E﹣AC﹣F 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点D 到平面ACF 的距离．

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20. 某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2所示．
根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．
分数
[50，85]
[85，110]
[110，150]
可能被录取院校层次
专科
本科
重本

(1)、求n和频率分布直方图中的x，y的值；

(2)、根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3 人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；

(3)、在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3 名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3 名学生中为重本的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{a + b \ln x}{x - 1}$ （a，b∈R）在点（2，f（2））处切线的斜率为﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ln 2，且函数过点（4， $\frac{1 + 2 \ln 2}{3}$ ）．
（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）= $\frac{k}{x}$ （k∈N^*），对任意的实数x₀＞1，都存在实数x₁ ， x₂满足0＜x₁＜x₂＜x₀ ，使得f（x₀）=f（x₁）=f（x₂），求k 的最大值．

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22. 已知曲线C 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{5} \cos α \\ y = 1 + \sqrt{5} \sin α \end{matrix}$ （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l₁：θ= $\frac{π}{6}$ ，l₂：θ= $\frac{π}{3}$ ，若l ₁、l₂与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．

(1)、解不等式f（x）≥8；

(2)、若不等式f（x）＜a²﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

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分数	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被录取院校层次	专科	本科	重本