2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若复数 $\frac{a + 3 i}{1 + 2 i}$ （α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）

A、﹣6 B、﹣4 C、4 D、6

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2. 设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁_UM=（）

A、U B、{1，3，5} C、{3，5，6} D、{2，4，6}

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3. 等差数列{a_n}中，a₄+a₁₀+a₁₆=30，则a₁₈﹣2a₁₄的值为（）

A、﹣20 B、﹣10 C、10 D、20

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4. 已知x∈（﹣ $\frac{π}{2}$ ，0），cosx= $\frac{4}{5}$ ，则tan2x=（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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6. 若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）

A、72° B、90° C、108° D、180°

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7. 已知M是△ABC内的一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ =2 $\sqrt{3}$ ，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为 $\frac{1}{2}$ ，x，y，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是（）

A、20 B、18 C、16 D、9

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8. 函数y=x+cosx的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（　　）

A、0.42 B、0.28 C、0.3 D、0.7

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10. 如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）

A、i≤7 B、i＞7 C、i≤9 D、i＞9

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁ ， F₂ ， P为椭圆上的一点，且|PF₁||PF₂|的最大值的取值范围是[2c² ， 3c²]，其中c= $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ．则椭圆的离心率的取值范围为（）

A、[ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ] B、[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1） C、[ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，1） D、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ]

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12. 给出定义：若 $m - \frac{1}{2} < x \leq m + \frac{1}{2}$ （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
① $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ；②f（3.4）=﹣0.4；
③ $f (- \frac{1}{4}) = f (\frac{1}{4})$ ；④y=f（x）的定义域为R，值域是 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ ；
则其中真命题的序号是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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二、填空题

13. 已知 ${(\frac{a}{x} - \sqrt{x})}^{9}$ 的展开式中x³的系数为 $\frac{9}{4}$ ，则常数a的值为．

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14. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} (x \leq 0) \\ \log_{2} x (x > 0) \end{matrix}$ ，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为．

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15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O为△ABC内一点，且满足| $\vec{O A}$ |=| $\vec{O B}$ |=| $\vec{O C}$ |，则 $\vec{A O}$ • $\vec{B C}$ 的值是．

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16. 抛物线y=﹣ $\frac{1}{4}$ x²上的动点M到两定点F（0，﹣1），E（1，﹣3）的距离之和的最小值为．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ+ $\frac{1}{2}$ cos（ $\frac{π}{2}$ +φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（ $\frac{π}{6} ， \frac{1}{2}$ ）．
（I）求ω和φ的值；
（II）求函数y=f（2x），x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]的值域．

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18. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A₁C₁D₁ ，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA₁的长；
（Ⅱ）若A₁C₁的中点为O₁ ，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

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19. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．

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20. 已知椭圆： $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{x^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦点F₁（0，﹣c），F₂（0，c）过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△F₂MN的周长为4．
（I）求椭圆方程；
（II）与y轴不重合的直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且 $\vec{A P}$ =λ $\vec{P B}$ ．若 $\vec{O A}$ +λ $\vec{O B}$ =4 $\vec{O P}$ ，求m的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e^﹣² ．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且 $k < \frac{f (x)}{x - 1}$ 对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

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22. 如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．

(1)、求证：DC是⊙O的切线；

(2)、求证：AM•MB=DF•DA．

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23. 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（I）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．

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24. 设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．

(1)、若a=﹣1，解不等式f（x）≥3

(2)、如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

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