2016-2017学年福建省漳州市八校联考高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（0，1）∪（1，2） D、（0，2）

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2. 复数z= $\frac{{(2 + i)}^{2}}{1 - i}$ （i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ，且 $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，（单位：cm），则这个几何体的体积是（）

A、（10π+36）cm³ B、（11π+35）cm³ C、（12π+36）cm³ D、（13π+34）cm³

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5. 程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入（）

A、K＜10 B、K≤10 C、K＜11 D、K≤11

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6. 等差数列{a_n}中，S_n是前n项和，且S₃=S₈ ， S₇=S_k ，则k的值为（）

A、4 B、11 C、2 D、12

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7. 函数y= $\frac{x^{3}}{3^{x} - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y + 4 \geq 0 \\ x \leq a \end{matrix}$ ，（a是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（）

A、3 $\sqrt{2}$ +2 B、﹣3 $\sqrt{2}$ +2 C、﹣5 D、1

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9. 若函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，为了得到函数g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为E，过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与该双曲线相交于A、B两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 或2 D、不存在

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11. 若关于x的方程|x³﹣ax²|=x有不同的四解，则a的取值范围为（）

A、a＞1 B、a＜1 C、a＞2 D、a＜2

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12. 设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁= $\frac{1}{2}$ ，a_n=f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{2}$ ，2） B、[ $\frac{1}{2}$ ，2] C、[ $\frac{1}{2}$ ，1） D、[ $\frac{1}{2}$ ，1]

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二、填空题

13. 数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n=2a_n﹣1，则{a_n}的通项公式为a_n= ．

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14. 半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是 $\sqrt{3}$ ，则球的表面积是．

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15. 抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为 $\frac{4}{3}$ ，则二项式（x+ $\frac{a}{x}$ ）²⁰展开式中含x^﹣¹⁶项的系数是．

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16. 已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得 $\vec{A O}$ =x $\vec{A B}$ +y $\vec{A C}$ ，且x+2y=1，则cos∠BAC= ．

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三、解答题.

17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量 $\vec{m}$ =（a， $\sqrt{3}$ b）与 $\vec{n}$ =（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a= $\sqrt{7}$ ，b=2，求△ABC的面积．

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18. 在数列{a_n}中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{c \cdot a_{n} + 1}$ （c为常数，n∈N*），且a₁ ， a₂ ， a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n₊₁ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= $\sqrt{3}$ ，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，且离心率e为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G $(- \frac{9}{4} ， 0)$ 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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21. 已知函数f（x）=lnx+ax² ， g（x）= $\frac{1}{x}$ +x+b，且直线y=﹣ $\frac{1}{2}$ 是函数f（x）的一条切线．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1， $\sqrt{e}$ ]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

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22. 已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C₂的极坐标方程为θ= $\frac{π}{4}$ （p∈R），曲线C₁ ， C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）把曲线C₁ ， C₂的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长度．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．

(1)、解不等式f（x）＞5；

(2)、若关于x的方程 $\frac{1}{f (x) - 4}$ =a的解集为空集，求实数a的取值范围．

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