2016-2017学年山西省朔州市右玉一中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-31 类型：期末考试

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一、选择题：

1. “经过两条相交直线有且只有一个平面”是（）

A、全称命题 B、特称命题 C、p∨q的形式 D、p∧q的形式

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2. 一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）

A、（￢p）∨（￢q） B、p∨（￢q） C、（￢p）∧（￢q） D、p∨q

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{a^{2}}$ =1与双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{4}$ =1有相同的焦点，则实数a的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1或﹣2 C、1或 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x²＞0，则（　　）

A、命题p∨q是假命题 B、命题p∧q是真命题 C、命题p∧（￢q）是真命题 D、命题p∨（￢q）是假命题

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5. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x²+y²﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm²）为（）

A、48+12 $\sqrt{2}$ B、48+24 $\sqrt{2}$ C、36+12 $\sqrt{2}$ D、36+24 $\sqrt{2}$

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8. 下列各小题中，p是q的充分不必要条件的是（）
①p：m＜﹣2或m＞6，q：y=x²+mx+m+3有两个零点；
② $P ： \frac{f (- x)}{f (x)} = 1$ ，q：y=f（x）是偶函数；
③p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ；
④p：A∩B=A，q：（∁_UB）⊆（∁_UA）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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9. 空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC= $\frac{π}{3}$ ，则cos＜ $\vec{O A}$ ， $\vec{B C}$ ＞的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、0

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10. F₁ ， F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF₁F₂=45°，则三角形AF₁F₂的面积为（）

A、7 B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$

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11. 方程 $\sqrt{9 - x^{2}}$ =k（x﹣3）+4有两个不同的解时，实数k的取值范围是（）

A、（0， $\frac{7}{24}$ ） B、（ $\frac{7}{24}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ） D、（ $\frac{7}{24}$ ， $\frac{2}{3}$ ]

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12. 点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为 $\frac{1}{8} c$ ，则双曲线的离心率e范围是（）

A、（1，8] B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{4}{3} ， \frac{5}{3})$ D、（2，3]

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二、填空题：

13. 已知p：﹣x²+7x+8≥0，q：x²﹣2x+1﹣4m²≤0．若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．

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14. 若实数x、y满足（x﹣2）²+y²=3，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为．

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15. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是．

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．

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三、解答题：

17. 已知命题p：函数f（x）=log_ax在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题q：不等式（a﹣2）x²+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

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18. 已知p： $\frac{3 - m}{2}$ ＜x＜ $\frac{3 + m}{2}$ ．q：x（x﹣3）＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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19. 在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 已知经过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x²=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是 $\frac{1}{2}$ 时， $\vec{A C} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ．
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

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21. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A₁﹣BC₁﹣B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+ $\sqrt{2}$ =0相切．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围．

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