2016-2017学年山西省晋中市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-31 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 命题“∃x＞0，使2^x＞3^x”的否定是（）

A、∀x＞0，使2^x≤3^x B、∃x＞0，使2^x≤3^x C、∀x≤0，使2^x≤3^x D、∃x≤0，使2^x≤3^x

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ =1的渐近线方程为（）

A、y=± $\frac{16}{9} x$ B、y=± $\frac{9}{16}$ x C、y=± $\frac{3}{4}$ x D、y=± $\frac{4}{3}$ x

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3. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AB，BB₁的中点，则直线BC₁与EF所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知直线 l₁：ax+（a+2）y+1=0，l₂：x+ay+2=0，则“l₁∥l₂”是“a=﹣1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 设点P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 上一点，F₁ ， F₂分别为C的左、右焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 已知点F为抛物线y ²=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）

A、6 B、2+4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{13}$ D、4+2 $\sqrt{5}$

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8. 已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围是（）

A、[﹣8，﹣1] B、[﹣8，0] C、[﹣16，﹣1] D、[﹣16，0]

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9. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣ $\frac{b}{a}$ x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若 $\vec{F B}$ =2 $\vec{F A}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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10. 在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该四面体外接球的表面积是（）

A、 $8 \sqrt{6} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、24π D、6π

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11. 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁ ，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂ ，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e₁+e₂恒成立，则t的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P是面A₁B₁C₁D₁上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）
①与点D距离为 $\sqrt{3}$ 的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是 $\frac{π}{2}$ ；
②若DP∥面ACB₁ ，则DP与面ACC₁A₁所成角的正切值取值范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{3} ， + \infty)$ ；
③若 $D P = \sqrt{3}$ ，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 $6 \sqrt{2}$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：

13. 直线 $x + \sqrt{3} y + c = 0$ 的倾斜角为．

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14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为．

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15. 已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x²+y²﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为．

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16. 已知m，n，s，t∈R⁺ ， m+n=2， $\frac{m}{s} + \frac{n}{t} = 9$ ，其中m、n是常数，当s+t取最小值 $\frac{4}{9}$ 时，m、n对应的点（m，n）是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．

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三、解答题：

17. 已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）²+y²=1相交”；q：“方程mx²﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．

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18. 已知线段AB的端点B在圆C₁：x²+（y﹣4）²=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，
（Ⅰ）试求M点的轨C₂方程；
（Ⅱ）若圆C₁与曲线C₂交于C，D两点，试求线段CD的长．

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19. 如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

(1)、求证：DE⊥平面BCD；

(2)、若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG的体积．

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20. 已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．
（Ⅰ）求直线PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；
（Ⅲ）设 $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ， $\vec{A P} = μ \vec{P B}$ ，求证λ+μ为定值．

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21. 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 $\frac{2}{5}$ ？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁ ，且直线OA、OB的斜率之积等于- $\frac{3}{4}$ ，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由．

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