2016-2017学年江西省新余市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-31 类型：期末考试

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一、选择题

1. 数列1，3，6，10，…的通项公式是（）

A、 $a_{n} = n^{2} - (n - 1)$ B、 $a_{n} = n^{2} - 1$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $a_{n} = n^{2} + 1$

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2. 已知随机变量ξ服从二项分布 $ξ \sim B (6 ， \frac{1}{3})$ ，即P（ξ=2）等于（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{1}{243}$ C、 $\frac{13}{243}$ D、 $\frac{80}{243}$

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3. （ $\sqrt{x}$ + $\frac{a}{\sqrt[3]{x}}$ ）⁵展开式的常数项为80，则a的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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4. 如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 $\sqrt{3}$ C、6 $\sqrt{3}$ D、7 $\sqrt{3}$

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5. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表：
经计算： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \approx 3.03$
做不到“光盘”行动
做到“光盘”行动
男
45
10
女
30
15
P（X²≥x₀）
0.10
0.05
0.025
x₀
2.706
3.841
5.024
参照附表，得到的正确结论是（）

A、在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关” B、在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关” C、有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关” D、有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”

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6. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + y \geq 4 \\ x - y \leq 2 \\ 3 y - x \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N（100，a²）（a＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的 $\frac{1}{10}$ ，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）

A、400 B、500 C、600 D、800

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8. 已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅ ，若存在两项a_m ， a_n使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}}$ =4a₁ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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9. “中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M、N为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M后N的次序（M、N两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有（）

A、120种 B、240种 C、480种 D、600种

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10. 设函数f（x）=a^x+b^x+c^x ，其中c＞a＞0，c＞b＞0，若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是（）
①对任意x∈（﹣∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x ， b^x ， c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，存在x∈（1，2），使f（x）=0．

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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11. 等比数列{a_n}中a₁+a₂+…+a₅=15，a₁²+a₂²+…+a₅²=30，则a₁﹣a₂+a₃﹣a₄+a₅=（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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12. 已知函数f（x）=﹣x⁵﹣3x³﹣5x+3，若f（a）+f（a﹣2）＞6，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，3） B、（3，+∞） C、（1，+∞） D、（﹣∞，1）

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二、填空题

13. 已知随机变量ξ的分布列为（如表所示）：设η=2ξ+1，则η的数学期望Eη的值是．
ξ
﹣1
0
1
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$

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14. 在等差数列{a_n}中，若a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=25，则a₂+a₈= ．

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15. 已知f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + x ， x \geq 0 \\ - x^{2} + x ， x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式f（x²﹣x+1）＜12解集是．

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16. 随机写出两个小于1的正数x与y，它们与数1一起形成一个三元数组（x，y，1）．这样的三元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是．

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三、解答题

17. 等差数列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉ ，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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18. 设f（x）= $\frac{16 x}{x^{2} + 8}$ （x＞0）．

(1)、求f（x）的最大值；

(2)、证明：对任意实数a、b，恒有f（a）＜b²﹣3b+ $\frac{21}{4}$ ．

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19. 如图，在△ABC中，∠B=45°， $A C = \sqrt{10}$ ， $\cos ∠ C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，点D是AB的中点，求：

(1)、边AB的长；

(2)、cosA的值和中线CD的长．

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20. 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单

(1)、前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？

(2)、3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？

(3)、3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？

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21. 某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：
①80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放．
②人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气．
活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10﹣60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示．
宣传效果调查表
广告一
广告二
回答正
确人数
占本组
人数频率
回答正
确人数
占本组
人数频率
[10，20）
90
0.5
45
a
[20，30）
225
0.75
k
0.8
[30，40）
b
0.9
252
0.6
[40，50）
160
c
120
d
[50，60]
10
e
f
g

(1)、分别写出n，a，b，c，d的值．

(2)、若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元．组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．

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22. 已知首项为1的正项数列{a_n}满足a_k₊₁=a_k+a_i（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），数列{a_n}的前n项和为S_n ．

(1)、比较a_i与1的大小关系，并说明理由；

(2)、若数列{a_n}是等比数列，求 $\frac{s_{6}}{a_{3}}$ 的值；

(3)、求证： $\frac{1}{2} n (n + 1) \leq s_{n} \leq 2^{n} - 1$ ．

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	做不到“光盘”行动	做到“光盘”行动
男	45	10
女	30	15

	广告一		广告二
	回答正确人数	占本组人数频率	回答正确人数	占本组人数频率
[10，20）	90	0.5	45	a
[20，30）	225	0.75	k	0.8
[30，40）	b	0.9	252	0.6
[40，50）	160	c	120	d
[50，60]	10	e	f	g

P（X²≥x₀）	0.10	0.05	0.025
x₀	2.706	3.841	5.024

ξ	﹣1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$