2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-31 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 已知α为锐角，则2α为（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一或第二象限角 D、小于180°的角

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2. 抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、- $\frac{1}{8}$ C、8 D、﹣8

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y + 1 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \\ 4 x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ 则目标函数z= $\frac{y + 1}{x + 3}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A，∠B，∠C的大小成等差数列，且a=1， $b = \sqrt{3}$ ．则∠A的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅a₆+a₄a₇=18，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=（）

A、1+log₃5 B、2+log₃5 C、12 D、10

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6. 若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（lnx）＜﹣f（1）的解集为（）

A、（e，+∞） B、（ $\frac{1}{e}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{e}$ ，e） D、（0， $\frac{1}{e}$ ）

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7. 已知圆C：x²+y²﹣2x﹣6y+9=0，过x轴上的点P（1，0）向圆C引切线，则切线长为（）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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8. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条渐近线被圆（x﹣2）²+y²=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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9. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）

A、2 B、4+2 $\sqrt{2}$ C、4+4 $\sqrt{2}$ D、6+4 $\sqrt{2}$

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10. 设集合A={1，2，3}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n上”为事件C_n（2≤n≤6，n∈N），若事件C_n的概率最大，则n的所有可能值为（）

A、4 B、2和6 C、3和5 D、3

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11. 已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形．若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）

A、120° B、60° C、45° D、30°

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12. 已知点M（1，0），A，B是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1上的动点，且 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ =0，则 $\vec{M A}$ • $\vec{B A}$ 的取值是（）

A、[ $\frac{2}{3}$ ，1] B、[1，9] C、[ $\frac{2}{3}$ ，9] D、[ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，3]

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二、填空题：）

13. sin15°+cos15°= ．

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14. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．

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15. 在区间[1，6]和[2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆的概率是．

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16. ①“∃x∈R，x²﹣3x+3=0”的否定是真命题；
②“ $- \frac{1}{2} < x < 0$ ”是“2x²﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是真命题；
④曲线 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1 (9 < k < 25)$ 有相同的焦点；
⑤过点（1，3）且与抛物线y²=4x相切的直线有且只有一条．
其中是真命题的有：（把你认为正确命题的序号都填上）

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三、解答题：

17. 已知命题p：关于x的不等式x²+（a﹣1）x+1≤0的解集为∅；命题q：方程 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆；若命题^¬q为真命题，p∨q为真命题．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、判断方程（a+1）x²+（1﹣a）y²=（a+1）（1﹣a）所表示的曲线的形状．

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18. 已知等比数列{a_n}，a₁=1，a₆=32，S_n是等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、设c_n=a_n+b_n ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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19. 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图：

(1)、如表是年龄的频数分布表，求a，b的值；
区间
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50]
人数
50
50
a
150
b

(2)、根据频率分布直方图估计志愿者年龄的平均数和中位数；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的分别抽取多少人？

(4)、在（3）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

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20. 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin²x﹣3cos²x+1．

(1)、求函数y=f（x）的单调递增区间；

(2)、若函数y=f（x）在区间[0，a]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．

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21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．

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22. 如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且 $\vec{A F} \cdot \vec{F B} = 1$ ， $| \vec{O F} | = 1$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	50	50	a	150	b