2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-31 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（　　）

A、一颗是3点，一颗是1点 B、两颗都是2点 C、两颗都是4点 D、一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

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2. 抽取以下两个样本：①从二（1）班数学成绩最好的10名学生中选出2人代表班级参加数学竞赛；②从学校1000名高二学生中选出50名代表参加某项社会实践活动．下列说法正确的是（）

A、①、②都适合用简单随机抽样方法 B、①、②都适合用系统抽样方法 C、①适合用简单随机抽样方法，②适合用系统抽样方法 D、①适合用系统抽样方法，②适合用简单随机抽样方法

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3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值 $\frac{m}{n}$ =（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{3}{8}$

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4. 执行如图所示的程序，则输入的i的值为（）

A、﹣1 B、0 C、﹣1或2 D、2

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5. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中B种型号产品比A种型号产品多8件．那么此样本的容量n=（）

A、80 B、120 C、160 D、60

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6. 设样本数据x₁ ， x₂ ， …，x₂₀的均值和方差分别为1和8，若y_i=2x_i+3（i=1，2，…，20），则y₁ ， y₂ ， …，y₂₀的均值和方差分别是（）

A、5，32 B、5，19 C、1，32 D、4，35

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7. 设随机变量ξ～N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则实数a等于（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、5 D、3

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8. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中至少有一个加工为一等品的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 代数式 $(\sqrt{x} + 2) {(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 的展开式中，常数项是（）

A、﹣7 B、﹣3 C、3 D、7

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10. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2AC，分别以A、B为圆心，AC的长为半径作扇形ACD和扇形BEF，D、E在AB上，F在BC上．在△ACB中任取一点，这一点恰好在图中阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、1﹣ $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、1﹣ $\frac{π}{4}$

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11. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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12. 湖心有四座小岛，其中任何三座都不在一条直线上．拟在它们之间修建3座桥，以便从其中任何一座小岛出发皆可通过这三座桥到达其它小岛．则不同的修桥方案有（）

A、4种 B、16种 C、20种 D、24种

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二、填空题：

13. 已知 $C_{20}^{3 x} = C_{20}^{x + 4}$ ，则x= ．

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14. 将二进制数11010_（₂_）化为八进制数为_（₈_）．

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15. 已知随机变量ξ～B（n，p），若 $E (ξ) = \frac{5}{3}$ ， $D (ξ) = \frac{10}{9}$ ，则n= ， p= ．

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16. 历年气象统计表明：某地区一天下雨的概率是 $\frac{1}{3}$ ，连续两天下雨的概率是 $\frac{1}{5}$ ．已知该地区某天下雨，则随后一天也下雨的概率是．

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三、解答题：

17. 一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同.

(1)、采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率；

(2)、采用放回抽样，每次随机取一球，连续取5次，求恰有两次取到红球的概率．

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18. 国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：
支持
不支持
合计
中老年组
50
中青年组
50
合计
100

(1)、根据以上信息完成2×2列联表；

(2)、是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？
P（K²≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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19. 2016年12月1日，汉孝城际铁路正式通车运营．除始发站（汉口站）与终到站（孝感东站）外，目前沿途设有7个停靠站，其中，武汉市辖区内有4站（后湖站、金银潭站、天河机场站、天河街站），孝感市辖区内有3站（闵集站、毛陈站、槐荫站）．为了了解该线路运营状况，交通管理部门计划从这7个车站中任选3站调研．

(1)、求孝感市辖区内至少选中1个车站的概率；

(2)、若孝感市辖区内共选中了X个车站，求随机变量X的分布列与期望．

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20. 已知常数m≠0，n≥2且n∈N，二项式（1+mx）ⁿ的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，第三项系数是第二项系数的9倍．

(1)、求m、n的值；

(2)、若记（1+mx）ⁿ=a₀+a₁（x+8）+a₂（x+8）²+…+a_n（x+8）ⁿ ，求a₀﹣a₁+a₂﹣a₃+…+（﹣1）ⁿa_n除以6的余数．

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21. 某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：

(1)、求这部分学生成绩的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差s²（同一组数据用该组的中点值作为代表）

(2)、由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩X服从正态分布 $N (\bar{x} ， s^{2})$ ．
①利用正态分布，求P（X≥129）；
②若该校高二共有1000名学生，试利用①的结果估计这次测验中，数学成绩在129分以上（含129分）的学生人数．（结果用整数表示）
附：① $\sqrt{210}$ ≈14.5②若X～N（μ，σ²），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

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22. 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、若这两个变量呈线性相关关系，试求y关于x的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、已知小王只收购使用年限不超过10年的二手车，且每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.03x²﹣1.81x+16.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？
（销售一辆该型号汽车的利润=销售价格﹣收购价格）

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	支持	不支持	合计
中老年组			50
中青年组			50
合计			100

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5