广东省佛山市禅城区2018-2019学年高三理数统一调研考试试卷（二）

试卷更新日期：2018-11-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{i^{2019}}{1 - 2 i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 3 a_{4}$ ，且 $S_{10} = λ a_{4}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、15 B、25 C、13 D、23

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4. 已知命题p：命题“ $\forall x > 0 ， x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ ”；命题q：在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ $sin A > sin B$ ”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} - 5 x - 1}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（）

x

196

197

200

203

204

y

1

3

6

7

m

A、8.3 B、8 C、8.1 D、8.2

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7. 如图所示的阴影部分是由 $x$ 轴及曲线 $y = sin x$ 围成，在矩形区域 $O A B C$ 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $tan a = 2$ ，则 $sin 2 a + {cos}^{2} a =$ （）

A、 B、 C、或1 D、1

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9. 定义运算： $| \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{3} & a_{4} \end{matrix} \end{matrix} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，将函数 $f (x) = | \begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt{3} & sin ω x \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & cos ω x \end{matrix} \end{matrix} |$ （ $ω > 0$ ）的图像向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，若目标函数 $z = a x + 3 y$ 仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围（）

A、（-6，-3） B、（-6，3） C、（0，3） D、（-6，0]

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11. 若函数 $f (x) = {log}_{a} (8 x - a x^{2})$ 在区间 $(\frac{1}{4 a^{2}} ， a^{2})$ 上为减函数，则a的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、（1，2]

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12. 若关于x的方程 $\frac{x}{e^{x}} + \frac{e^{x}}{x + e^{x}} + m = 0$ 有三个不相等的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，其中m∈R，e为自然对数的底数，则 ${(\frac{x_{1}}{e^{x_{1}}} + 1)}^{2} (\frac{x_{2}}{e^{x_{2}}} + 1) (\frac{x_{3}}{e^{x_{3}}} + 1)$ 的值为（）

A、1+m B、e C、m-1 D、1

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二、填空题

13. 等边△ABC中，边长为2，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} - 2, x < 0 \\ g (x), x \geq 0 \end{matrix}$ 为偶函数，则 $g (f (- 2))$ =

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15. 定义在R上的可导函数 $f (x)$ ，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ 恒成立， $a = f (2)$ ， $b = \frac{1}{2} f (3) ， c = (\sqrt{2} + 1) f (\sqrt{2})$ ，则a，b，c的大小关系为

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三、解答题

16. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - t \\ y = 4 + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线 $C_{1}$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $l$ 和曲线C₁的极坐标系方程；

(2)、曲线C₂： $θ = α (ρ > 0, 0 < α < \frac{π}{2})$ 分别交直线 $l$ 和曲线C₁交于A、B，求 $\frac{2}{O A} + \frac{O B}{2}$ 的最大值.

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17. 已知 $f (x)$ 是定义在（-1,1）上的奇函数，当x∈（0,1）时， $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在（-1,1）上的解析式；

(2)、若 $g (x)$ 是周期为2的函数，且x∈（-1,1）时 $g (x) = f (x)$ ，求 $x \in (2 n, 2 n + 1), (n \in N)$ 时的解析式.

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18. △ABC的对边分别为a,b,c，满足 $a = b cos C + c sin B$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $cos A = \frac{3}{5}$ ，试求 $cos C$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} {log}_{2} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图
附： $\sqrt{83} \approx 9$ ；若X： $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.683$ ；

$P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.954$ ； $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.997$

(1)、求样本平均株长 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值代替）；

(2)、假设幼苗的株长X服从正态分布 N $(μ ， δ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $S^{2}$ ，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201，219）的株数；

(3)、在第（2）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为 $\frac{3}{4}$ ，开花后结穗的概率为 $\frac{2}{3}$ ，设最终结穗的幼苗株数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - ln x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明 $\frac{1}{ln x_{1}} + \frac{1}{ln x_{2}} > 2$ .

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x	196	197	200	203	204
y	1	3	6	7	m