浙江省慈溪市六校2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-11-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{2}{x + 1} \leq 1}$ ， $B = {x | 2^{x} < 1}$ ，则 $(∁_{R} A$ $) \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $y = ln (x^{2} + 2 x - 3)$ 的单调递减区间是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $0 < a < b < 1$ ，则 $a^{b}$ ， $b^{a}$ ， ${log}_{b} a$ ， ${log}_{\frac{1}{a}} b$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A ， B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A ， B)与(B ， A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x ， x < 0 \\ \frac{2}{e^{x}} ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，则f(x)的“姊妹点对”有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(1 - 2 a)}^{x} ， x \leq 1 \\ {log}_{a} x + \frac{1}{3} ， x > 1 \end{matrix}$ 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知对数函数f（x）=log_ax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2018) =$ （）

A、-2018 B、0 C、2 D、50

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10. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 a x + b | (x \in R)$ ，给出下列命题：① $f (x)$ 必是偶函数；②当 $f (0) = f (2)$ 时， $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称；③若 $a^{2} - b \leq 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上是增函数；④若 $a > 0$ ，在区间 $[- a, a]$ 上 $f (x)$ 有最大值 $| a^{2} - b |$ . 其中正确的命题序号是：（）

A、③ B、②③ C、③④ D、①②③

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二、填空题

11. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} l o g_{2} x \begin{matrix} ， & x > 0 \end{matrix} \\ x^{2} + x \begin{matrix} ， & x \leq 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ ，方程 $f (x) = 2$ 的解为．

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12. 已知 $a > b > 1$ ，若 ${log}_{a} b + {log}_{b} a = \frac{5}{2}$ ， $a^{b} = b^{a}$ ，则 $a$ = ， $b$ =.

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13. ①函数 $f (x) = a^{x + 1} - 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象必过定点，定点坐标为．
②已知函数y＝f(x²－1)的定义域为[－ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ]，则函数y＝f(x)的定义域为．

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14. 若指数函数 $f (x)$ 的图像过点 $(- 2 ， 4)$ ，则 $f (3) =$ ；不等式 $f (x) + f (- x) < \frac{5}{2}$ 的解集为．

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15. 设任意实数 $a > b > c > 0$ ，要使 ${log}_{\frac{a}{b}} 2018 + 4 {log}_{\frac{b}{c}} 2018 \geq m \cdot {log}_{\frac{c}{a}} 2018$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为．

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16. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上是增函数，且 $f (- 2) = 0$ ，则使得不等式 $(2^{x} - 2) [f (x) + f (- x)] < 0$ 成立 $x$ 的取值范围是.

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17. 定义区间 $(a, b) 、 [a, b) 、 (a, b] 、 [a, b]$ 的长度 $d$ 均为 $d = b - a$ ，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如 $(1, 2) \cup^{} [3, 5)$ 的长度 $d = (2 - 1) + (5 - 3) = 3$ 。用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[2] = 2, [3.7] = 3, [- 1.2] = - 2$ 。记 ${x} = x - [x]$ 。设 $f (x) = [x] \cdot {x}$ ， $g (x) = x - 1$ ，若用 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 和 $d_{3}$ 分别表示不等式 $f (x) > g (x)$ 、方程 $f (x) = g (x)$ 和不等式 $f (x) < g (x)$ 解集区间的长度，则当 $0 \leq x \leq 2018$ 时， $d_{1} \cdot d_{2} \cdot d_{3} =$ .

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三、解答题

18.

(1)、 $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{- 4} + 2^{{log}_{2} 3}$

(2)、已知 $a + a^{- 1} = 5$ ，求 $a^{2} + a^{- 2}$ 和 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ 的值．

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19. 已知集合 $A = {x | 3 \leq 3^{x} \leq 27}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ．

(1)、分别求 $A \cap^{} B$ ， $C_{R} (A \cup^{} B)$ ；

(2)、已知集合 $C = {x | 1 < x < a}$ ，若 $C \cup^{} A = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知为 $f (x)$ 二次函数，且 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2 x^{2} - 4 x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、设 $g (x) = f (2^{x}) - m \cdot 2^{x + 1}$ ，其中 $x \in [0, 1]$ ， $m$ 为常数且 $m \in R$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

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21. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、若对任意实数 $t \in R$ ，不等式 $f (k t^{2} - k t) + f (2 - k t) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 1 | + x^{2} + k x$ ，且定义域为 $(0, 2)$ .

(1)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x + 3$ 在 $(0, 2)$ 上的解；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上单调减函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 上有两个不同的实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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