2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-30 类型：期末考试

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一、选择题：

1. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 $\frac{1}{2}$ 时，则输入的x值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、﹣1 C、﹣1或 $\sqrt{2}$ D、﹣1或 $\sqrt{10}$

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2. 命题“若a²+b²=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）

A、若a²+b²≠0，则a≠0且b≠0” B、若a²+b²≠0，则a≠0或b≠0” C、若a=0且b=0，则a²+b²≠0 D、若a≠0或b≠0，则a²+b²≠0

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3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值 $\frac{m}{n}$ =（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{3}{8}$

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4. 已知双曲线my²﹣x²=1（m∈R）与椭圆 $\frac{y^{2}}{5}$ +x²=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、y=± $\sqrt{3}$ x B、y=± $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x C、y=± $\frac{1}{3}$ x D、y=±3x

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5. 向量 $\vec{a}$ =（2，4，x）， $\vec{b}$ =（2，y，2），若| $\vec{a}$ |=6，且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则x+y的值为（）

A、﹣3 B、1 C、﹣3或1 D、3或1

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6. 下列命题正确的是（）

A、若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B、“x=5”是“x²﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 C、命题“若x＜﹣1，则x²﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x²﹣2x﹣3≤0” D、已知命题 p：∃x∈R，x²+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x²+x﹣1≥0

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7. 命题p：方程 $\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（）

A、4＜m＜5 B、3＜m＜5 C、1＜m＜5 D、1＜m＜3

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8. 已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，用a，b，c表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$

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9. 曲线y=sinx+e^x在点（0，1）处的切线方程是（）

A、x﹣3y+3=0 B、x﹣2y+2=0 C、2x﹣y+1=0 D、3x﹣y+1=0

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2 $\sqrt{5}$ ，则△PF₁F₂的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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12. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题：

13. 若 $\vec{a}$ =（2，3，m）， $\vec{b}$ =（2n，6，8）且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为共线向量，则m+n= ．

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14. 在[﹣4，3]上随机取一个数m，能使函数 $f (x) = x^{2} + \sqrt{2} m x + 2$ 在R上有零点的概率为．

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15. 已知点F是抛物线C：y²=4x的焦点，点B在抛物线C上，A（5，4），当△ABF周长最小时，该三角形的面积为．

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16. 我们把离心率e= $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0，c= $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ）的图象，给出以下几个说法：
①若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
②若F₁ ， F₂为左右焦点，A₁ ， A₂为左右顶点，B₁（0，b），B₂（0，﹣b）且∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
③若MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂ ， ∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50]
人数
25
a
b

(1)、求正整数a，b，N的值；

(2)、现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

(3)、在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

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18. 已知函数f（x）=ax³+bx²﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值，

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．

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19. 若抛物线的顶点是双曲线x²﹣y²=1的中心，焦点是双曲线的右顶点

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．

(1)、求证：AC⊥BC₁；

(2)、求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)、求二面角B﹣DC﹣B₁的余弦值．

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21. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直线BM的斜率分别记为k_AM与k_BM ，且k_AM•k_BM=﹣2
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出△OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数f（x）= $\frac{1 + \ln x}{x}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；

(3)、若x≥1时，有不等式f（x）≥ $\frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	25	a	b