云南曲靖市2018届高三理数第一次（1月）统一检测试卷

试卷更新日期：2018-01-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{5 i}{i - 1}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \sqrt{ln x}}$ ，集合 $B = {y | y = x^{\frac{1}{2}}}$ ，那么 $A \cap^{} (C_{U} B) =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“缝二进一”，如 $1101_{(2)}$ 表示二进制数，将它转化成十进制形式是 $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ，那么将二进制数 $1010_{(2)}$ 转化成十进制形式是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{4}}$ ， $b = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = {log}_{2} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 大小关系是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知矩形 $A B C D$ 的四个顶点的坐标分别是 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (1 ， 0)$ ， $D (- 1 ， 0)$ ，其中 $A ， B$ 两点在曲线 $y = x^{2}$ 上，如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形 $A B C D$ 中，则骰子落入阴影区域的概率是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下图是计算 $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{17}$ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{B D}$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{B A} + μ \overset{⇀}{B C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ， $a_{3} = 2$ ，设其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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10. ${(\frac{a}{x} - {}^{3}{\sqrt{x^{2}}})}^{7}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为 $14$ ，则 $a =$ （）

A、 B、 C、 D、

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11. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 b - a = b cos A + a cos B$ ，且 $a + c = 4$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设函数 $f (x) = 3 x e^{x}$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < k x {}_{0}- k$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (μ - 2 < ξ \leq μ) = 0.241$ ，则 $P (ξ > μ + 2) =$ ．

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14. 实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 2 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $z = k x + y$ 的最大值为 $6$ ，则实数 $k$ 的值是．

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15. 抛物线 $y^{2} = 2 a x (a > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ 相交于 $M ， N$ 两点，若 $∠ M E N = 120 °$ ，则 $a =$ .

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16. 棱长为 $a$ 的正四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在同一个球面上，若过棱 $A B$ 作四面体的截面，交棱 $C D$ 的中点于 $E$ ，且截面面积是 $3 \sqrt{2}$ ，则四面体外接球的表面积是．

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三、解答题

17. 若数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，它的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，其中 $T_{3} = 9$ ，且 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $4 S_{n} \leq a^{2} - a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名 $30$ 观众进行调查，其中有 $12$ 名男观众和 $18$ 名女观众，将这 $30$ 名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在 $35$ 分钟以上（包括 $35$ 分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在 $35$ 分钟以下（不包括 $35$ 分钟）的称为“非朗读爱好者”.规定只有女“朗读爱好者”可以参加央视竞选.

(1)、若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取 $5$ 名，再从这 $5$ 名观众中任选 $2$ 名，求至少选到 $1$ 名“朗读爱好者”的概率；

(2)、若从所有的“朗读爱好者”中随机抽取 $3$ 名，求抽到的 $3$ 名观众中能参加央视竞选的人数 $ξ$ 的分布列及其数学希望 $E (ξ)$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别是 $A A_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、设棱 $B B_{1}$ 的中点为 $D$ ，证明： $C_{1} D$ $/ /$ 平面 $P Q B_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A C = A A_{1} = A C_{1} = 4$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = 60^{°}$ ，且平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，求二面角 $Q - P B_{1} - A_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $F$ 为左焦点，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 上是否存在一点 $P$ ，使得在点 $P$ 处的切线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点满足 $\overset{⇀}{O M} ⊥ \overset{⇀}{O N}$ ？若存在，求 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 函数 $f (x) = x e^{x} - a x + b$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为： $y = - x + 1$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq ln x - x + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）；在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2$ $(0 \leq θ \leq π)$ ，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α_{0} (α_{0} \in [0, \frac{π}{2}])$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的极坐标方程和曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、若射线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C$ 分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的取值范围.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 3 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) < 5$ ；

(2)、若不等式 $f (x) - t < 0$ 的解集为空集，记实数 $t$ 的最大值为 $a$ ，求实数 $a$ 的值.

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