广东省肇庆市2019届高三理数第一次统测数学试卷

试卷更新日期：2018-11-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - \frac{1}{2} < x < 2} ， B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = 25$ ，则 $z$ =（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， - 1)$ ， $C (3 ， 4)$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = i (i$ 为虚数单位），则复数 $| z |$ =（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列说法错误的是（）

A、回归直线过样本点的中心 B、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C、对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“ 与有关系”的把握程度越小 D、在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位

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6. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 3 \\ x - y \geq - 1 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 4 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、12 B、10 C、8 D、2

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7. 如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）

A、k≤6 B、k≤7 C、k≤8 D、k≤9

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8. 设 $a, b$ 为实数，命题甲： $a b > b^{2}$ ，命题乙： $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 下列说法正确的是（）

A、 “ ”是“ ”的充分不必要条件. B、若为假命题，则，均为假命题. C、命题“若，则 ”的逆否命题为：“若，则 ”. D、命题：使得，则：均有 .

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11. 将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校，每所学校至少一人，且甲不去A学校，则不同的分配方法有（）

A、72种 B、108种 C、180种 D、360种

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12. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各条棱的长度均相等， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $M ， N$ 分别是线段 $B B_{1}$ 和线段 $C C_{1}$ 的动点（含端点），且满足 $B M = C_{1} N$ ，当 $M ， N$ 运动时，下列结论中不正确的是（）

A、在内总存在与平面平行的线段 B、平面平面 C、三棱锥的体积为定值 D、可能为直角三角形

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二、填空题

13. 若随机变量ξ～N(2，1)，且 $P (ξ \geq 1) = 0.8413$ ，则 $P (ξ \geq 3)$ ＝.

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14. ${(x^{2} - x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是.（用数字作答）.

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15. 从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设 $X$ 表示抽到的次品件数，则 $D X$ =.

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{B D}$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{B A} + μ \overset{⇀}{B C}$ ，则 $λ + μ =$ .

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ， $P D = C D = B C = \frac{1}{2} A B = 2$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $D C / / A B$ ， $D C ⊥ C B$ ， $F$ 是 $P B$ 的中点， $G$ 是 $A B$ 上一点，且 $A G = 3$ .

(1)、证明： $C F / / 平面 P A D$ ；

(2)、若 $P D ⊥ D C$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $F - A G C$ 的体积.

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18. 每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数 $x$ （万人）与沙漠中所需环保车辆数量 $y$ （辆），得到如下统计表：

参会人数 $x$ （万人）

11

9

8

10

12

所需环保车辆 $y$ （辆）

28

23

20

25

29

(1)、根据统计表所给5组数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

(2)、已知租用的环保车平均每辆的费用 $C$ （元）与数量 $t$ （辆）的关系为
$C = {\begin{matrix} 3000 t + 200, 0 < t < 35, t \in N \\ 2900t,t \geq 35, t \in N \end{matrix}$ .主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，

每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润 $L$ 是多少？（注：利润 $L =$ 主办方支付费用 $-$ 租用车辆的费用）．

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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19. 如图，在四棱锥 $M - A B C D$ 中，平面 $A B C D$ $⊥$ 平面 $M D C$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，且 $∠ D M C = 90 °$ ， $D M = M C$ .

（Ⅰ）证明： $平面 AMD ⊥ 平面 BMC$ ；

（Ⅱ）求平面 $M A B$ 与平面 $M C D$ 所成二面角的正弦值.

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20. 某工厂生产的某产品按照每箱10件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验.若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失100元.检验方案如下：
第一步，一次性随机抽取2件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若抽取的2件产品有且仅有1件合格，则进行第二步工作.

第二步，从剩下的8件产品中再随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若合格，则进行第三步工作.

第三步，从剩下的7件产品中随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验.

假设某箱该产品中有8件合格品，2件次品.

（Ⅰ）求该箱产品被检验通过的概率；

（Ⅱ）若每件产品的检验费用为10元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P D ⊥ 平面 ABCD$ ， $M$ 是 $P C$ 的中点， $G$ 是线段 $D M$ 上异于端点的一点，平面 $G A P$ $\cap^{}$ 平面 $B D M = G H$ ， $P D = 2$ .

（Ⅰ）证明： $G H / / 平面 PAD$ ；

（Ⅱ）若 $P D$ 与平面 $G A P$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$ ，求四棱锥 $D - P A H G$ 的体积.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s α \\ y = 2 + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{16}{3 {cos}^{2} θ + 1}$ ．

（Ⅰ）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线 $C$ 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1, 2)$ ，求 $l$ 的斜率．

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23. 选修4—5：不等式选讲
设函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ .

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq 4$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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参会人数 $x$ （万人）	11	9	8	10	12
所需环保车辆 $y$ （辆）	28	23	20	25	29