2016-2017学年北京市海淀区八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-03-30 类型：期末考试

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一、选择题

1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算中正确的是（）

A、x²÷x⁸=x^﹣⁴ B、a•a²=a² C、（a³）²=a⁶ D、（3a）³=9a³

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3. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（）

A、1×10^﹣⁶ B、10×10^﹣⁷ C、0.1×10^﹣⁵ D、1×10⁶

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4. 在分式 $\frac{x}{x + 2}$ 中x的取值范围是（）

A、x＞﹣2 B、x＜﹣2 C、x≠0 D、x≠﹣2

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5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、2a²﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B、（x+y）（x﹣y）=x²﹣y² C、x²﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1） D、x²+y²=（x﹣y）²+2xy

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6.
如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（）

A、AD=AE B、DB=AE C、DF=EF D、DB=EC

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7. 下列各式中，计算正确的是（）

A、（15x²y﹣5xy²）÷5xy=3x﹣5y B、98×102=（100﹣2）（100+2）=9996 C、 $\frac{x}{x + 3} - 1 = \frac{3}{x + 3}$ D、（3x+1）（x﹣2）=3x²+x﹣2

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8.
如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）

A、62 B、31 C、28 D、25

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9.
在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）

A、△ABC的重心处 B、AD的中点处 C、A点处 D、D点处

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10. 定义运算 $\frac{a}{b}$ = $\frac{a + 1}{b + 1}$ ，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（）

A、 $\frac{a}{b}$ × $\frac{b}{a}$ =1 B、 $\frac{b}{a}$ + $\frac{c}{a}$ = $\frac{b + c}{a}$ C、（ $\frac{a}{b}$ ）²= $\frac{(a^{2} + 2 a)}{(b^{2} + 2 b)}$ D、 $\frac{a}{a}$ =1

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二、填空题

11.
如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．

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12. 分解因式：x²y﹣4xy+4y= ．

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13. 写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标．

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14. 如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是．

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15. 计算：﹣4（a²b^﹣¹）²÷8ab²= ．

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16. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=°．

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17.
教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法．（填“正确”或“不正确”）

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18.
如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

(1)、判定△ABD与△AED全等的依据是；

(2)、∠ACB与∠ABC的数量关系为：．

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三、解答题）

19. 分解因式：（a﹣4b）（a+b）+3ab．

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20.
如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．

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21. 解下列方程：

(1)、 $\frac{5 x + 2}{x^{2} + x}$
= $\frac{3}{x + 1}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x + 2}$
﹣1= $\frac{1}{x - 2}$ ．

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四、解答题

22. 已知a+b=2，求（ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ）• $\frac{a b}{{(a - b)}^{2} + 4 a b}$ 的值．

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23.
如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．

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24.
列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．

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五、解答题

25. 在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

(1)、非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；

(2)、观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

(3)、小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

(4)、
请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

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26.
钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

(1)、若AB=AC，点E在AD延长线上．

当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE=°，

∠BEA=°；

(2)、如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；

(3)、如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

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27. 一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？

(1)、以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有条对称轴；

(2)、凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；

(3)、通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：．

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