2017年湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试卷（理科）（2月份）

试卷更新日期：2017-03-28 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则 $\frac{2}{z}$ ﹣z²的共轭复数是（）

A、1﹣3i B、1+3i C、﹣1+3i D、﹣1﹣3i

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2. 设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2^x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）

A、（﹣∞，3） B、[2，3） C、（﹣∞，2） D、（﹣1，2）

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3. 已知α为第四象限角， $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $\tan \frac{α}{2}$ 的值为（）

A、- $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 $15 \sqrt{2} m$ ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3 π}{16}$ D、 $\frac{12 + 3 π}{32}$

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5. 抛物线y²=4x的焦点到双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1的渐近线的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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6. 函数y=ln|x|﹣x²的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{176}{3}$ B、 $\frac{160}{3}$ C、 $\frac{128}{3}$ D、32

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8. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 设随机变量η服从正态分布N（1，σ²），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + η^{2} x$ 没有极值点的概率是（）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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10. 已知圆C：x²+y²=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）

A、 $(\frac{4}{9} ， \frac{8}{9})$ B、 $(\frac{2}{9} ， \frac{4}{9})$ C、（2，0） D、（9，0）

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11. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B₃C₃上有10个不同的点P₁ ， P₂ ， …P₁₀ ，记m_i= $\vec{A B_{2}} \cdot \vec{A P_{i}}$ （i=1，2，…，10），则m₁+m₂+…+m₁₀的值为（）

A、180 B、 $60 \sqrt{3}$ C、45 D、 $15 \sqrt{3}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} (2 - [x]) \cdot | x - 1 | ， (0 \leq x < 2) \\ 1 ， (x = 2) \end{matrix}$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数．设n∈N^* ，定义函数f_n（x）：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n_﹣₁（x））（n≥2），则下列说法正确的有
①y= $\sqrt{x - f (x)}$ 的定义域为 $[\frac{2}{3} ， 2]$ ；
②设A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，则A=B；
③ $f_{2016} (\frac{8}{9}) + f_{2017} (\frac{8}{9}) = \frac{13}{9}$ ；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，
则M中至少含有8个元素．（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：

13. ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中，x⁴的系数为．

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14. 某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 5 \\ x - y \leq 2 \\ x < 6 \end{matrix}$ ，则该学校今年计划招聘教师最多人．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x \sin (\frac{π}{2} x) + 1$ 的两个零点分别为m、n（m＜n），则 $\int_{m}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ = ．

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16. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a_n}为“斐波那契”数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，则
（Ⅰ）S₇=；
（Ⅱ）若a₂₀₁₇=m，则S₂₀₁₅= ．（用m表示）

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三、解答题：

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sqrt{3}$ $(\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{11 π}{24})$ ．

(1)、求函数f（x）的值域；

(2)、已知锐角△ABC的两边长分别为函数f（x）的最大值与最小值，且△ABC的外接圆半径为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，求△ABC的面积．

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18. 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此解答如下问题．
（Ⅰ）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；
（Ⅱ）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求 $\frac{P M}{P D}$ 的值．

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20. 如图，曲线Γ由曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0，y≤0）和曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F₁ ，
F₂为曲线C₁所在圆锥曲线的焦点，点F₃ ， F₄为曲线C₂所在圆锥曲线的焦点，
（Ⅰ）若F₂（2，0），F₃（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C₂的渐近线，交曲线C₁于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C₂的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l₁过点F₄交曲线C₁于点C、D，求△CDF₁面积的最大值．

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21. 设f（x）= $\frac{(4 x + a) \ln x}{3 x + 1}$ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{(4 i + 1) (4 i - 3)}$ （n∈N^*）．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ²﹣6ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|2x﹣3|+2．
（Ⅰ）解不等式|g（x）|＜5；
（Ⅱ）若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围

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