上海市徐汇区2018届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2018-12-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{D C}$ ，且 $\overset{⇀}{A C}$ · $\overset{⇀}{B D}$ ＝0，则四边形 $A B C D$ 是（）

A、菱形 B、矩形 C、直角梯形 D、等腰梯形

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2. 若无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $1$ ，公比为 $\frac{1}{2}$ ，且 $lim_{n \to \infty} S_{n} = a$ ，( $n \in N^{*}$ )，则复数 $z = \frac{1}{a + i}$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限． B、第二象限． C、第三象限． D、第四象限．

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3. 在 $Δ A B C$ 中，“ $cos A + sin A = cos B + sin B$ ”是“ $∠ C = 90^{0}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，圆 $C$ 分别与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴相切于点 $A ， B$ ，过劣弧 $A B$ 上一点 $T$ 作圆 $C$ 的切线，分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴于点 $M ， N$ ，若点 $Q (2 ， 1)$ 是切线上一点，则 $Δ M O N$ 周长的最小值为（）

A、10 B、8 C、 $4 \sqrt{5}$ D、12

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二、填空题

5. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ，则 $C_{U} A =$ .

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6. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项是

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7. 函数 $f (x) = lg (3^{x} - 2^{x})$ 的定义域为．

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8. 已知抛物线 $x^{2} = a y$ 的准线方程是 $y = - \frac{1}{4}$ ，则 $a =$ .

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9. 若一个球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该球的表面积为．

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10. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 0 ， \\ y \geq 0 ， \\ x + y \leq 1 ． \end{matrix}$ 则目标函数 $z = x - y$ 的最小值为．

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11. 函数 $f (x) = | \begin{matrix} {(sin x + cos x)}^{2} - 1 \\ 1 1 \end{matrix} |$ 的最小正周期是．

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12. 已知圆锥的底面半径为3，体积是 $12 π$ ，则圆锥侧面积等于.

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13. 将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是 $m$ ，记第二颗骰子出现的点数是 $n$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (m - 2 ， 2 - n)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (1 ， 1)$ ，则向量 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ 的概率是.

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14. 已知直线 $l_{1} ： m x - y = 0 ， l_{2} ： x + m y - m - 2 = 0$ .当 $m$ 在实数范围内变化时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点 $P$ 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

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15. 若函数 $f (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{2} + sin x}{x^{2} + 1}$ 的最大值和最小值分别为 $M$ 、 $m$ ，则函数 $g (x) = (M + m) x + sin [(M + m) x - 1]$ 图像的一个对称中心是．

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16. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为锐角，且满足 $| \overset{⇀}{a} | = \frac{8}{\sqrt{15}}$ 、 $| \overset{⇀}{b} | = \frac{4}{\sqrt{15}}$ ，若对任意的 $(x ， y) \in {(x ， y) | | x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b} | = 1 ， x y 〉 0}$ ，都有 $| x + y | \leq 1$ 成立，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 如图在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $A C_{1} = \sqrt{21}$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $N$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积；

(2)、求异面直线 $A_{1} M$ 与 $B_{1} N$ 所成角的大小（用反三角函数表示）．

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18. 如图：某快递小哥从 $A$ 地出发，沿小路 $A B \to B C$ 以平均时速20公里 $/$ 小时，送快件到 $C$ 处，已知 $B D = 10$ （公里）， $∠ D C B = 45 ° ， ∠ C D B = 30 °$ ， $Δ A B D$ 是等腰三角形， $∠ A B D = 120 °$ ．

(1)、试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到 $C$ 处？

(2)、快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路 $A D \to D C$ 追赶，若汽车平均时速60公里 $/$ 小时，问，汽车能否先到达 $C$ 处？

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 t x + 1$ ，其定义域为 $[0 ，_{} 3] \cup [12 ，_{} 15]$ ，

(1)、当 $t = 2$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的反函数；

(2)、如果函数 $y = f (x)$ 在其定义域内有反函数，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 长轴的两个端点， $M ， N$ 是椭圆上与 $A ， B$ 均不重合的相异两点，设直线 $A M ， B N ， A N$ 的斜率分别是 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ .

(1)、求 $k_{2} \cdot k_{3}$ 的值；

(2)、若直线 $M N$ 过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{3} = - \frac{1}{6}$ ；

(3)、设直线 $M N$ 与 $x$ 轴的交点为 $(t ， 0)$ ( $t$ 为常数且 $t \neq 0$ )，试探究直线 $A M$ 与直线 $B N$ 的交点 $Q$ 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $A_{n}$ 满足 $\frac{A_{n + 1}}{n + 1} - \frac{A_{n}}{n} = \frac{1}{2} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 2} - 2 b_{n + 1} + b_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ， $b_{3} = 2$ ，其前9项和为36．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为奇数时，将 $a_{n}$ 放在 $b_{n}$ 的前面一项的位置上；当 $n$ 为偶数时，将 $b_{n}$ 放在 $a_{n}$ 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列： $a_{1} ， b_{1} ， b_{2} ， a_{2} ， a_{3} ， b_{3} ， b_{4} ， a_{4} ， a_{5} ， b_{5} ， \cdot \cdot \cdot$ ，求该数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} + b_{n}}$ ，对于任意给定的正整数 $k (k \geq 2)$ ，是否存在正整数 $l ， m (k < l < m)$ ，使得 $c_{k} ， c_{l} ， c_{m}$ 成等差数列？若存在，求出 $l ， m$ (用 $k$ 表示)；若不存在，请说明理由．

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