陕西省渭南市大荔县2019届高三(理科)数学摸底测试卷

试卷更新日期：2018-09-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i$ ，则 $| z |$ =（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ，则∁_RA=（）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | x < - 1} \cup {x | x > 2}$ D、 ${x | x \leq - 1} \cup {x | x \geq 2}$

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3. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3) ， \overset{⇀}{b} = (x ， 4) ， \overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ 则 $x =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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5. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 3 x$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60 ° ， b = 3$ ，面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则a等于（）

A、13 B、 $\sqrt{13}$ C、7 D、 $\sqrt{7}$

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7. 要使程序框图输出的S=2cos $π + 2^{3} cos 3 π + \cdot \cdot \cdot + 2^{99} cos 99 π ，$ 则判断框内（空白框内）可填入（）

A、 $n < 99$ B、 $n < 100$ C、 $n \geq 99$ D、 $n \geq 100$

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8. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2 π}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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9.
如图S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与AC所成角为( )

A、60º B、90º C、45º D、30º

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10. 函数f（x）=sin²x+sinxcosx+1的最小正周期是（）

A、2π B、π C、 $\frac{3}{2}$ π D、 $\frac{1}{2}$ π

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11. 已知函数 $f (x)$ 既是二次函数又是幂函数，函数 $g (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x) + 1} + 1$ ，则 $h (2018) + h (2017) + h (2016) + \dots + h (1) + h (0) + h (- 1) + \dots h (- 2016) + h (- 2017) + h (- 2018) =$ （）

A、0 B、2018 C、4036 D、4037

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12. 若两曲线在交点P处的切线互相垂直，则称该两曲线在点P处正交，设椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < 2)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 在交点处正交，则椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $x = \frac{1}{4}$ 处的切线方程为．

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x - 2 y - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ y \leq 0 ， \end{cases}$ 则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为.

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15. 已知sinθ+2cosθ=0，则 $\frac{1 + s i n 2 θ}{c o s^{2} θ}$ =

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{2} ， C D = A C = \sqrt{3}$ ，当三梭锥 $A - B C D$ 的体积最大时，其外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{5} = 6$ ，
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 及通项 $a_{n}$ ；
（Ⅱ）记 $b_{n} = 2^{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列的前 ${b_{n}}$ 项和.

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18. 从高三学生中抽取 $n$ 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 $[40 ， 100)$ ，且成绩在区间 $[70 ， 90)$ 的学生人数是 $27$ 人.

(1)、求 $x$ ， $n$ 的值；

(2)、若从数学成绩（单位：分）在 $[40 ， 60)$ 的学生中随机选取 $2$ 人进行成绩分析.
①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的 $2$ 人中，成绩都在 $[50 ， 60)$ 内为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率.

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19.
已知A、B、C是抛物线y²=2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC．

（Ⅰ）若A（1，2），B（4，﹣4），求点C的坐标；
（Ⅱ）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

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21. 已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} l \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} l \end{matrix}$ （l为参数）与曲线 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{8} t^{2} \\ y = t \end{matrix}$ （t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|+2|x+1|的最小值为m．

(1)、求m的值；

(2)、若a、b、c∈R， $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ +c²=m，求c（a+b）的最大值．

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