吉林省长春市普通高中2018届高三理数质量监测（三）试卷

试卷更新日期：2018-12-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | | x | < 1}$ ， $B = {x | x (x - 3) < 0}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(1 ， 3)$

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2. 若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $f (x) = 1 + x^{2} + \frac{tan x}{x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $a$ 个单位得到函数 $g (x) = cos 2 x$ 的图象，则 $a$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{11 π}{12}$ D、 $\frac{17 π}{12}$

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6. 如图所示的程序框图是为了求出满足 $2^{n} - n^{2} > 28$ 的最小偶数 $n$ ，那么在 $▭$ 空白框中填入及最后输出的 $n$ 值分别是（）

A、 $n = n + 1$ 和6 B、 $n = n + 2$ 和6 C、 $n = n + 1$ 和8 D、 $n = n + 2$ 和8

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7. $6$ 本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种

A、 $24$ B、 $36$ C、 $48$ D、 $60$

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8. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知△ $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 b cos B = a cos C + c cos A$ ， $b = 2$ ，则△ $A B C$ 面积的最大值是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $4$

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10. 已知边长为 $2$ 的等边三角形 $A B C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为折痕，将△ $A B C$ 折成直二面角，则过 $A ， B ， C ， D$ 四点的球的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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11. 已知焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，其右支上存在一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为3，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $2$ D、 $3$

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12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(1 ， 1)$ ，且对 $\forall x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) > - 2$ ，则不等式 $f ({log}_{2} | 3^{x} - 1 |) 〈 3 - {log}_{\sqrt{2}} | 3^{x} - 1 |$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup^{} (0 ， 3)$

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二、填空题

13. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y ⩾ 0 \\ 4 x - y ⩾ 0 \\ x + y \leq 5 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 已知 $x$ 、 $y$ 取值如下表：
$\begin{matrix} x & 0 & 1 & 4 & 5 & 6 \\ y & 1.3 & m & 3 m & 5.6 & 7.4 \end{matrix}$
画散点图分析可知： $y$ 与 $x$ 线性相关，且求得回归方程为 $\hat{y} = x + 1$ ，则 $m$ 的值为.（精确到 $0.1$ ）

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 0 \\ {log}_{2} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a) ⩾ 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知腰长为 $2$ 的等腰直角△ $A B C$ 中， $M$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $P$ 为该平面内一动点，若 $| \overset{⇀}{P C} | = 2$ ，则 $(\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B} + 4) (\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P M})$ 的最小值.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} - n$ ，在正项等比数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = a_{2} ， b_{4} = a_{5}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出 $200$ 人，并将这 $200$ 人按年龄分组：第1组 $[15 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 35)$ ，第3组 $[35 ， 45)$ ，第4 组 $[45 ， 55)$ ，第5组 $[55 ， 65]$ ，得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求 $a$ 的值

(2)、现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取 $12$ 人，再从这 $12$ 人中随机抽取 $3$ 人进行问卷调查，求在第1组已被抽到 $1$ 人的前提下，第3组被抽到 $2$ 人的概率；

(3)、若从所有参与调查的人中任意选出 $3$ 人，记关注“生态文明”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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19. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别是线段 $A D ， P B$ 的中点， $P A = A B = 1$ .

(1)、求证： $E F$ ∥平面 $D C P$ ；

(2)、求平面 $E F C$ 与平面 $P D C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 在平面直角坐标系中，已知圆 $C_{1}$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $C_{2}$ 的方程为 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，动圆 $C$ 与圆 $C_{1}$ 内切且与圆 $C_{2}$ 外切.

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、已知 $P (- 2 ， 0)$ 与 $Q (2 ， 0)$ 为平面内的两个定点，过 $(1 ， 0)$ 点的直线 $l$ 与轨迹 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5 - \frac{a}{e^{x}}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调递增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = e^{x} f (x)$ ，当 $m ⩾ 1$ 时，若 $g (x_{1}) + g (x_{2}) = 2 g (m)$ ，其中 $x_{1} < m < x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < 2 m$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ ： $ρ = 4 cos θ (0 \leq θ < \frac{π}{2})$ ， $C_{2}$ ： $ρ cos θ = 3$ .

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点的极坐标；

(2)、设点 $Q$ 在 $C_{1}$ 上， $\overset{⇀}{O Q} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{Q P}$ ，求动点 $P$ 的极坐标方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | 2 x + 3 | + m$ ， $m \in R$ ．

(1)、当 $m = - 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、对于 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ 都有 $f (x) \geq x + \frac{2}{x}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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