北京市丰台区2018年高三理数一模试卷

试卷更新日期：2018-12-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集U={x|x<5}，集合 $A = {x | x - 2 \leq 0}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${x | x \leq 2}$ B、 ${x | x ≻ 2}$ C、 ${x | 2 ≺ x ≺ 5}$ D、 ${x | 2 \leq x ≺ 5}$

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2. 已知命题p： $\exists$ x <1， $x^{2} \leq 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall$ x ≥1， $x^{2} > 1$ B、 $\exists$ x <1， $x^{2} > 1$ C、 $\forall$ x <1， $x^{2} > 1$ D、 $\exists$ x ≥1， $x^{2} > 1$

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3. 设不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为 $Ω$ .则（）

A、原点O在 $Ω$ 内 B、 $Ω$ 的面积是1 C、 $Ω$ 内的点到y轴的距离有最大值 D、若点P(x₀ ， y₀) $\in Ω$ ，则x₀+y₀≠0

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4. 执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是（）

A、n≥5 B、n≥6 C、n≥7 D、n≥8

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5. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）

A、 $ρ$ =sin $θ$ B、 $ρ$ =2sin $θ$ C、 $ρ$ =cos $θ$ D、 $ρ$ =2cos $θ$

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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7. 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）

A、4 B、8 C、12 D、24

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8. 设函数 $f (x) =sin(4x+ \frac{π}{4}) (x \in [0 ， \frac{9 π}{16}])$ ，若函数 $y = f (x) + a (a \in R)$ 恰有三个零点x₁ ， x₂ ， x₃ (x₁ <x₂<x₃)，则x₁ + x₂ + x₃的取值范围是（）

A、 $[\frac{5 π}{8} ， \frac{11 π}{16})$ B、 $(\frac{5 π}{8} ， \frac{11 π}{16}]$ C、 $[\frac{7 π}{8} ， \frac{15 π}{16})$ D、 $(\frac{7 π}{8} ， \frac{15 π}{16}]$

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二、填空题

9. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是 $z_{1} ， z_{2}$ ，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}} =$ .

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ = $n^{2}$ +n，则 $a_{3} + a_{4}$ ＝.

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11. 已知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的一个焦点，则M的标准方程为.

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12. 在△ $A B C$ 中， $a = 2$ ， $c = 4$ ，且 $3 sin A = 2 sin B$ ，则 $cos C =$ ．

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13. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.
①当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，y的取值范围是；
②如果对任意 $x \in [a ， b]$ (b <0)，都有 $y \in [- 2 ， 1]$ ，那么b的最大值是.

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14. 已知 $C$ 是平面 $A B D$ 上一点， $A B ⊥ A D$ ， $C B = C D = 1$ ．
①若 $\overset{⇀}{A B} = 3 \overset{⇀}{A C}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D} =$ ；
②若 $\overset{⇀}{A P} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ ，则 $| \overset{⇀}{A P} |$ 的最大值为．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) {=2cos}^{2} x (\frac{sin x}{cos x} + 1) - 1$
(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间．

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16. 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD， AB⊥BC， AD//BC， AD=3，PA=BC=2AB=2，
PB＝ $\sqrt{3}$ ．
(Ⅰ)求证：BC⊥PB；
(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；
(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．

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17. 某地区工会利用 “健步行 $A P P$ ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为 $A$ 类会员，年龄大于40岁的会员为 $B$ 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从 $A ， B$ 两类会员中各随机抽取 $m$ 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为 $[3 ， 5)$ ， $[5 ， 7)$ ， $[7 ， 9)$ ， $[9 ， 11)$ ， $[11 ， 13)$ ， $[13 ， 15)$ ， $[15 ， 17)$ ， $[17 ， 19)$ ， $[19 ， 21]$ 九组，将抽取的 $A$ 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图， $B$ 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．

(1)、求 $m$ 和 $a$ 的值；

(2)、从该地区 $A$ 类会员中随机抽取 $3$ 名，设这 $3$ 名会员中健步走的步数在 $13$ 千步以上（含 $13$ 千步）的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设该地区 $A$ 类会员和 $B$ 类会员的平均积分分别为 $\bar{X_{1}}$ 和 $\bar{X_{2}}$ ，试比较 $\bar{X_{1}}$ 和 $\bar{X_{2}}$ 的大小（只需写出结论）．

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18. 已知函数 $f (x) {=e}^{x} - a (ln x + 1) (a \in R)$ .
(Ⅰ)求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；
(Ⅱ)若函数 $y = f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上有极值，求a的取值范围．

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19. 已知点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $F (1 ， 0)$ 是椭圆的一个焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆C上不与 $P$ 点重合的两点 $D$ ， $E$ 关于原点O对称，直线 $P D$ ， $P E$ 分别交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆被直线 $y = \frac{3}{2}$ 截得的弦长是定值．

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20. 已知无穷数列 ${a_{n}} (a_{n} \in Z)$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，…， $S_{n}$ 中奇数的个数为 $b_{n}$ ．
(Ⅰ)若 $a_{n}$ = n，请写出数列 ${b_{n}}$ 的前5项；
(Ⅱ)求证：" $a_{1}$ 为奇数， $a_{i}$ (i = 2，3，4，...）为偶数”是“数列 ${b_{n}}$ 是单调递增数列”的充分不必要条件；
(Ⅲ)若 $a_{i} = b_{i}$ ，i=1， 2， 3，…，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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