河南省南阳市南召县2019届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若二次根式 $\sqrt{a - 2}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \leq 2$ C、 $a > 2$ D、 $a \neq 2$

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2. 下列选项中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{8}$

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3. 下列运算错误的是（）

A、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 ${(- \sqrt{2})}^{2} = 2$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）

A、1：4 B、1：2 C、2：1 D、1： $\sqrt{2}$

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 0$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 1$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > - 1$ B、 $k \geq - 1$ C、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$

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7. 已知 $x < 1$ ，则 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 化简的结果是（）

A、 $x - 1$ B、 $1 - x$ C、 $- x - 1$ D、 $1 + x$

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8. 若x＝3是方程x $^{2}$ －3mx＋6m＝0的一个根，则m的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，DE=3，则BC的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、8

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10. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列等式① $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ② $\frac{B F}{B C} = \frac{A E}{A C}$ ③ $\frac{A E}{E C} = \frac{B F}{F C}$ ④ $\frac{E F}{A B} = \frac{C E}{A C}$ 其中正确的是（）

A、①③④ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题

11. 计算： $(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \times \sqrt{3} =$ ．

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12. 方程 $x (x - 1) = x$ 的解为．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值是．

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14. 某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为．

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15. 如图，在△ABC中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $D$ 是 $A B$ 边上的一点，当 $A D =$ 时，△ABC∽△ACD．

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三、解答题

16. 计算： $(7 + 4 \sqrt{3}) {(2 - \sqrt{3})}^{2} - (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$ ．

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17. 解方程： $(x + 1) (x + 3) = 8$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (\frac{2 a b - b^{2}}{a} - a)$ ，其中 $a = 1 + \sqrt{3}$ ， $b = 1 - \sqrt{3}$ ．

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19. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 (k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、写出一个满足条件的 $k$ 值，并求此时方程的根．

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20. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，F为AD上一点，CF的延长线交BA延长线于点E．
求证： $\frac{AB}{BE} = \frac{DF}{AD}$ ．

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21. 某水果店出售一种水果，经过市场估算，若每个售价为 $20$ 元时，每周可卖出 $300$ 个．经过市场调查，如果每个水果每降价 $1$ 元，每周可多卖出 $25$ 个，若设每个水果的售价为 $x$ 元 $(x < 20)$ ．

(1)、则这一周可卖出这种水果为个（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、若该周销售这种水果的收入为 $6400$ 元，那么每个水果的售价应为多少元？

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22. 阅读理解：
材料 $1$ ．若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ．已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，
根据材料 $1$ 得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．
解决问题：

(1)、一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．

(2)、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

(3)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 3 q + 1$ ，且 $p \neq 2 q$ ，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段 $O A$ ， $O C$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 12 x + 36 = 0$ 的两根， $B C = 4 \sqrt{5}$ ， $∠ B A C = 45^{\circ}$ ．

(1)、直接写出点 $A$ 的坐标点 C的坐标；

(2)、若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $B$ ，求k的值；

(3)、如图过点 $B$ 作 $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ；在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使以 $P$ ， $B$ ， $D$ 为顶点的三角形与以 $P$ ， $O$ ， $A$ 为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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