2017年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 若复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ （a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）

A、1 B、﹣1 C、 $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{1}{3}$

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2. 已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）

A、a＞3 B、a≥3 C、a≥﹣1 D、a＞﹣1

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3. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\frac{1}{2}$ cos（ωx﹣ $\frac{7 π}{6}$ ）（ω＞0）的最小正周期为2π，则f（﹣ $\frac{π}{6}$ ）=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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4. 下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增是（）

A、f（x）=|sinx| B、f（x）=ln $\frac{2 - x}{2 + x}$ C、f（x）= $\frac{1}{2}$ （e^x﹣e^﹣^x） D、f（x）=ln（ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ﹣x）

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）

A、n≤8？ B、n＞8？ C、n≤7？ D、n＞7？

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6. 若函数f（x）= $\frac{\sin x + a}{\cos x}$ 在区间（0， $\frac{π}{2}$ ）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、a≤﹣1 B、a≤2 C、a≥﹣1 D、a≤1

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7. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（）

A、40 B、36 C、32 D、24

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8. 已知直线y=2x﹣3与抛物线y²=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，则 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、- $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{3}$

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9. 如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$

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10. 设实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} y - 2 x \leq 0 \\ 2 x + y \leq 6 \\ y \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，则2x+ $\frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 为两个非零向量，且| $\vec{m}$ |=2，| $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ |=2，则| $\vec{n}$ |+|2 $\vec{m}$ + $\vec{n}$ |的最大值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知x、y满足x³+2y³=x﹣y，x＞0，y＞0．则x、y使得x²+ky²≤1恒成立的k的最大值为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、2+ $\sqrt{5}$ C、2+2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{7}$ +1

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二、填空题：

13. （x²+1）（x+a）⁸的展开式中，x⁸的系数为113，则实数a的值为．

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14. 在△ABC中，角C=60°，且tan $\frac{A}{2}$ +tan $\frac{B}{2}$ =1，则sin $\frac{A}{2}$ •sin $\frac{B}{2}$ = ．

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15. 在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y= $\frac{1}{x - 1}$ 上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点．

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16. 已知函数f（x）=xe^x﹣ae^2x（a∈R）恰有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则实数a的取值范围为．

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a_n＞0，且满足：（a_n+2）²=4S_n+4n+1，n∈N^* ．

(1)、求a₁及通项公式a_n；

(2)、若b_n=（﹣1）ⁿ•a_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，∠BCC₁= $\frac{π}{3}$ ，AB=BB₁=2，BC=1，D为CC₁中点．

(1)、求证：DB₁⊥平面ABD；

(2)、求二面角A﹣B₁D﹣A₁的平面角的余弦值．

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19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)、求恰好有一种新产品研发成功的概率；

(2)、若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．

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20. 已知椭圆Г： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，F₂与椭圆上点的连线的中最短线段的长为 $\sqrt{2}$ ﹣1．

(1)、求椭圆Г的标准方程；

(2)、已知Г上存在一点P，使得直线PF₁ ， PF₂分别交椭圆Г于A，B，若 $\vec{P F_{1}}$ =2 $\vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}}$ =λ $\vec{F_{2} B}$ （λ＞0），求λ的值．

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21. 解答题

(1)、求函数f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤ $\frac{1}{2}$ 上的最大值；

(2)、证明：不等式x¹^﹣^x+（1﹣x）^x≤ $\sqrt{2}$ 在（0，1）上恒成立．

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22. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为 $ρ \sin (θ - \frac{2 π}{3}) = - \sqrt{3}$ ，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．

(1)、求直线l和⊙C的普通方程；

(2)、若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．

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23. 解答题

(1)、求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；

(2)、若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

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