2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

试卷更新日期：2017-03-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|log₂x＜4}，集合B={x||x|≤2}，则A∩B=（）

A、（0，2] B、[0，2] C、[﹣2，2] D、（﹣2，2）

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2. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z₁=1﹣2i，i是虚数单位，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 的虚部为（）

A、﹣ $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、﹣ $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 下列四个结论：

①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x₀∈R，x₀﹣lnx₀＜0”．
其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4.
«孙子算经»中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）

A、74 B、75 C、76 D、77

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5. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使 $\frac{\sin ∠ P F_{2} F_{1}}{\sin ∠ P F_{1} F_{2}} = e$ ，则 $\vec{F_{2} P} \cdot \vec{F_{2} F_{1}}$ 的值为（）

A、3 B、2 C、﹣3 D、﹣2

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6. 已知2sinθ=1﹣cosθ，则tanθ=（）

A、﹣ $\frac{4}{3}$ 或0 B、 $\frac{4}{3}$ 或0 C、﹣ $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）

A、13π B、16π C、25π D、27π

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8. 函数 $y = \frac{x^{2} \ln x^{2}}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ =（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 已知（1﹣2x）²⁰¹⁷=a₀+a₁（x﹣1）+a₂（x﹣1）²+…+a₂₀₁₆（x﹣1）²⁰¹⁶+a₂₀₁₇（x﹣1）²⁰¹⁷（x∈R），则a₁﹣2a₂+3a₃﹣4a₄+…﹣2016a₂₀₁₆+2017a₂₀₁₇=（）

A、2017 B、4034 C、﹣4034 D、0

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ |=1， $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ）， $(\vec{c} - 2 \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则| $\vec{c}$ |的最大值为（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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12. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE，构成四棱锥A₁﹣BCDE，若M为线段A₁C的中点，在翻转过程中有如下4个命题：
①MB∥平面A₁DE；
②存在某个位置，使DE⊥A₁C；
③存在某个位置，使A₁D⊥CE；
④点A₁在半径为 $\sqrt{2}$ 的圆面上运动，
其中正确的命题个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 - | x - 1 | (x \leq 2) \\ e^{x - 2} (- x^{2} + 8 x - 12) (x > 2) \end{matrix}$ ，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）个不同的数x₁ ， x₂ ， x₃ ， …，x_n ，使得比值 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}}$ = $\frac{f (x_{2})}{x_{2}}$ =…= $\frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ 成立，则n的取值集合是（）

A、{2，3，4，5} B、{2，3} C、{2，3，5} D、{2，3，4}

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二、填空题

14. 已知点x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2 x + y \leq 2 \end{matrix}$ ，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．

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15. 如图，在△ABC中， $\cos \frac{1}{2} ∠ A B C = \frac{\sqrt{6}}{3} ， A B = 2$ ，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则cosC= ．则三角形ABC的面积为．

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16. 已知{a_n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a₅≠ $\frac{k π}{2}$ （k∈Z），sin²a₃+2sina₅•cosa₅=sin²a₇ ，函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在 $x \in (0 ， \frac{3 π}{4})$ 上单调且存在 $x \in (0 ， \frac{3 π}{4}) ， f (x) + f (2 x_{0} - x) = 0$ ，则w范围是．

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17. 设a＜0，（x²+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为．

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三、解答题

18. 数列{a_n}中，a₁=2， $a_{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} a_{n}$ （n∈N^*）．

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}^{2}}{16 n^{2} - a_{n}^{2}}$ ，若数列{b_n}的前n项和是T_n ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，AB=2，AM=1，E是AB的中点．

(1)、求证：平面DEM⊥平面ABM；

(2)、在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

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20. 已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

(1)、求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

(2)、首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？

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21. 如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

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22. 已知抛物线G：x²=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁＜x₂），过A，B点分别作抛物线G的切线L₁ ， L₂ ，两切线L₁ ， L₂相交H（x，y），

(1)、若k=1，有 L₁⊥L₂ ，求抛物线G的方程；

(2)、若p=2，△ABH的面积为S₁ ，直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S₂ ，证明： $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ 为定值．

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23. 已知函数f（x）=xlnx﹣ $\frac{a}{2}$ x²（a∈R）．

(1)、若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；

(2)、若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

(3)、若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x₁ ， x₂ ，求证： $\frac{1}{\ln x_{1}}$ + $\frac{1}{\ln x_{2}}$ ＞2ae．

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24. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos²θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为 $(3, \frac{π}{2})$ ，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为 $\sqrt{3}$

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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25. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．

(1)、当a=﹣1时，求f（x）≤2的解集；

(2)、若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合 $[\frac{1}{2} ， 1]$ ，求实数a的取值范围．

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