2017年山西省吕梁市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|log₄x≤ $\frac{1}{2}$ }，B={x|（x+3）（ x﹣1）≥0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、（0，1] B、（0，1） C、[1，2] D、[0，1]

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2. 如果复数 $\frac{2 + a i}{1 + 2 i}$ 的实部与虚部相等，则实数a等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、6 C、﹣6 D、﹣ $\frac{2}{3}$

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3. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁+a₃=5，S₄=15，则S₆=（）

A、15 B、31 C、40 D、63

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4. 某个路口交通指示灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为40秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过10秒就可以通行的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{y^{2}}{m^{2}}$ =1（m∈Z）的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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6. 在△ABC中，| $\vec{A C}$ |=1，| $\vec{C A}$ ﹣ $\vec{C B}$ |=| $\vec{C A}$ + $\vec{C B}$ |，则 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =（）

A、1 B、﹣1 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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7. 在如图所示的程序框图中，若输入的m=98，n=63，则输出的结果为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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8. 已知0＜a＜b，且a+b=1，则下列不等式中正确的是（）

A、log₂a＞0 B、2^a^﹣^b＜ $\frac{1}{2}$ C、log₂a+log₂b＜﹣2 D、2^（ $\frac{a}{b}$ ⁺ $\frac{b}{a}$ ^）＜ $\frac{1}{2}$

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9. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）（ω＞0），若f（ $\frac{π}{6}$ ）=f（ $\frac{π}{3}$ ），且f（x）在区间（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ）上有最小值，无最大值，则ω=（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{26}{3}$ D、 $\frac{38}{3}$

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10. 如图，过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于AB，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，则p=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2﹣ $\sqrt{2}$

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11. E为正四面体D﹣ABC棱AD的中点，平面α过点A，且α∥平面ECB，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m、n所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知函数y=x²的图象在点（x₀ ， x₀²）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x₀必满足（）

A、0＜x₀＜ $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ ＜x₀＜1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ＜x₀＜ $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$ ＜x₀ $< \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 若 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{9}$ 的二项展开式中的常数项是84，则实数a= ．

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14. 已知约束条件 ${\begin{matrix} x - y \leq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \\ x + a y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

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15. 已知三棱锥的外接球的表面积为25π，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为．

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16. 数列{a_n}中，a_2n=a_2n_﹣₁+（﹣1）ⁿ ， a_2n₊₁=a_2n+n，a₁=1，则a₂₀= ．

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三、解答题

17. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．

(1)、求tanA的值；

(2)、若a=4 $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积的最大值．

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18. 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD= $\frac{1}{2}$ BC， $\vec{B E}$ = $\frac{1}{4}$ $\vec{B C}$ ．

(1)、求证：DE⊥平面PAC；

(2)、若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

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19. 某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100﹣110的学生数有21人

(1)、求总人数N和分数在110﹣115分的人数n．；

(2)、现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占 $\frac{1}{3}$ ）中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列与数学期望Eξ；

(3)、为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表
数学（x）
88
83
117
92
108
100
112
物理（y）
94
91
108
96
104
101
106
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？
附：对于一组数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n），其回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 如图，已知圆N：x²+（y+ $\sqrt{5}$ ）²=36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0， $\sqrt{5}$ ）和DP上的点M，满足 $\vec{D P}$ =2 $\vec{D M}$ ， $\vec{M Q}$ • $\vec{D P}$ =0．

(1)、当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

(2)、若斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线l与（1）中所求Q的轨迹交于不同两点A、B，又点C（ $\frac{4}{3}$ ，2），求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程．

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21. 已知f（x）=（ax²+ax+x+a）e^﹣^x（a≤0）．

(1)、讨论y=f（x）的单调性；

(2)、当a=0时，若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求证x₁+x₂＞2．

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22. 已知曲线C的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A﹣（2，0）、B（﹣1， $\sqrt{3}$ ）

(1)、求直线AB的直角坐标方程；

(2)、在曲线C上求一点M，使点M到AB的距离最大，并求出些最大值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．

(1)、若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；

(2)、如果∃x∈R，使得f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．

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数学（x）	88	83	117	92	108	100	112
物理（y）	94	91	108	96	104	101	106