2017年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知R为实数集，集合A={x|x＞0}，B={x|x²﹣x﹣2＞0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、（0，2] B、（﹣1，2） C、[﹣1，2] D、[0，4]

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2. 设复数 $z = 1 + \frac{1}{i^{3}}$ ，则z的共轭复数是（）

A、1 B、1+i C、﹣1+i D、1﹣i

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3. 已知 $\sin (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{17 π}{12})$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1 B、a∈R，“ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“a＞1”的必要不充分条件 C、命题“∃x∈R，使得x²+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x²+2x+3＞0” D、设随机变量X～N（1，5²），若P（X＜0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为2

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5. 《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{24}{29}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{16}{29}$

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6. 已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， + \infty)$

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7. 函数 $y = \frac{x}{x^{2} + a}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、5 B、 $\frac{16}{3}$ C、7 D、 $\frac{17}{3}$

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9. 执行如图所示的程序框图，如果输出T=6，那么判断框内应填入的条件是（）

A、k＜32 B、k＜33 C、k＜64 D、k＜65

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10. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、48种

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11. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 2 \leq 0 \\ 5 x - 3 y - 12 \geq 0 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ 当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，则 $\frac{1}{3 a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + \sqrt{2}$

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12. 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有 $f [f (x) + \log_{\frac{1}{3}} x] = 4$ ，且方程|f（x）﹣3|=x³﹣6x²+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）

A、0＜a≤5 B、a＜5 C、0＜a＜5 D、a≥5

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二、填空题

13. 已知△ABC外接圆半径是2， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则△ABC的面积最大值为

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14. 在边长为1的正方形ABCD中， $2 \vec{A E} = \vec{E B}$ ，BC的中点为F， $\vec{E F} = 2 \vec{F G}$ ，则 $\vec{E G} \cdot \vec{B D}$ = ．

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15. 已知a＞0， ${(\frac{a}{\sqrt{x}} - x)}^{6}$ 展开式的常数项为15，则 $\int_{- a}^{a} (\sqrt{1 - x^{2}} + \sin 2 x) d x$ =

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16. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ （ $0 \leq x \leq \frac{91 π}{6}$ ），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x₁ ， x₂ ， x₃ ， …，x_n ，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n ，则x₁+2x₂+2x₃+…+2x_n_﹣₁+x_n= ．

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三、解答题

17. 已知公比不为1的等比数列{a_n}的前5项积为243，且2a₃为3a₂和a₄的等差中项．

(1)、求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)、若数列{b_n}满足b_n=b_n_﹣₁•log₃a_n₊₂（n≥2且n∈N*），且b₁=1，求数列 ${\frac{(n - 1)!}{b_{n + 1}}}$ 的前n项和S_n ．

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18. 水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；

(2)、若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为[1，1.5）和[1.5，2）之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设X为用水量吨数在[1，1.5）中的获奖的家庭数，Y为用水量吨数在[1.5，2）中的获奖家庭数，记随机变量Z=|X﹣Y|，求Z的分布列和数学期望．

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知侧面ABB₁A₁是菱形，侧面BCC₁B₁是正方形，点A₁在底面ABC的投影为AB的中点D．

(1)、证明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；

(2)、设P为B₁C₁上一点，且 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C_{1}}$ ，求二面角A₁﹣AB﹣P的正弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，圆Q：x²+y²﹣4x﹣2y+3=0的圆心Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点P作直线l交椭圆C于A，B两点，若S_△_AQB=tan∠AQB，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=lnx+mx（m为常数）．

(1)、讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、当 $m \leq - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 时，设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ 的两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂）恰为h（x）=2lnx﹣ax﹣x²的零点，求 $y = (x_{1} - x_{2}) h^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的最小值．

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22. 已知曲线C₁： ${\begin{matrix} x = 12 \cos θ \\ y = 4 \sin θ \end{matrix}$ （参数θ∈R），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 $ρ = \frac{3}{\cos (θ + \frac{π}{3})}$ ，点Q的极坐标为 $(4 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ．

(1)、将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q的直角坐标；

(2)、设P为曲线C₁上的点，求PQ中点M到曲线C₂上的点的距离的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|4x﹣a|+|4x+3|，g（x）=|x﹣1|﹣|2x|．

(1)、解不等式g（x）＞﹣3；

(2)、若存在x₁∈R，也存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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