陕西省西安市八校2018届高三上学期文数第一次联考试卷

试卷更新日期：2018-11-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2} ， B = {x | 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | - 2 < x < 3}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z_{1} = 2 + i ， z_{2} = 2 - i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} | =$ （）

A、4 B、0 C、2 D、 $2 \sqrt{10}$

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3. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 6 ， a_{6} = 6 ， S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $S_{4} < S_{3}$ B、 $S_{4} = S_{3}$ C、 $S_{4} > S_{1}$ D、 $S_{4} = S_{1}$

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4. 若 $A 、 B$ 为对立事件，其概率分别为 $P (A) = \frac{4}{x} ， P (B) = \frac{1}{y}$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、6

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5. $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点，双曲线的一条渐近线为 $3 x - 2 y = 0 ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $| P F_{1} | = 6$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、9 B、2 C、10 D、2或10

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ x + y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - 3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、-10 B、-4 C、4 D、6

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7. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = \frac{9}{2} ， | \overset{⇀}{A C} | = 3 ， | \overset{⇀}{A B} | = 3 ， M 、 N$ 分别是 $B C$ 边上的三等分点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A N}$ 的值是（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、6 D、7

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $2 + \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $4 + \frac{2 π}{3}$

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9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 $n = 24$ ，则 $p$ 的值可以是（）（参考数据： $sin 15^{0} \approx 0.2588 ， sin {7.5}^{0} \approx 0.1305 ， sin {3.75}^{0} \approx 0.0654$ ）

A、2.6 B、3 C、3.1 D、3.14

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10. 如图，抛物线 $W ： y^{2} = 4 x$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 25$ 交于 $A 、 B$ 两点，点 $P$ 为劣弧 $\hat{AB}$ 上不同于 $A 、 B$ 的一个动点，与 $x$ 轴平行的直线 $P Q$ 交抛物线 $W$ 于点 $Q$ ，则 $Δ P Q C$ 的周长的取值范围是（）

A、 $(10 ， 12)$ B、 $(12 ， 14)$ C、 $(10 ， 14)$ D、 $(9 ， 11)$

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11. 曲线 $y = x^{3}$ 上一点 $B$ 处的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $A ， Δ O A B$ （ $O$ 为原点）是以 $A$ 为顶点的等腰三角形，则切线 $l$ 的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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12. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B D = 90^{0}$ ，且 $A B = 1 ， B D = \sqrt{2}$ ，若将其沿 $B D$ 折起使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $A - B D C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $4 π$

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二、填空题

13. 设公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 3 a_{2} + 2 ， S_{4} = 3 a_{4} + 2$ ，则 $q =$ ．

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14. 从集合 ${(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 4 ， x \in R ， y \in R}$ 中任选一个元素 $(x ， y)$ ，则满足 $x + y \geq 2$ 的概率为．

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15. 函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 内可导，若 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $(x - 1) f^{'} (x) < 0$ ，若 $a = f (0) ， b = f (\frac{1}{2}) ， c = f (3)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足 $f (x) + f (x - 1) > 1$ 的 $x$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5} ， x_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Δ A B C$ 是正三角形， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ，又 $P A = A B = 4 ， A D = C D ， ∠ C D A = 120^{0}$ ，点 $N$ 是 $C D$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P M N ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

(1)、根据表中数据写出甲公司员工 $A$ 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

(2)、为了解乙公司员工 $B$ 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 $X$ （单位：元），求 $X > 182$ 的概率；

(3)、根据表中数据估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．

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20. 已知直线 $l ： x = m y + 1$ 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ ，抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{3} y$ 的焦点为椭圆 $C$ 的上顶点，且 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，点 $A 、 F 、 B$ 在直线 $g ： x = 4$ 上的射影依次为 $D 、 K 、 E$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，且 $\overset{⇀}{M A} = λ_{1} \overset{⇀}{A F} ， \overset{⇀}{M B} = λ_{2} \overset{⇀}{B F}$ ，当 $m$ 变化时，证明： $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值；

(3)、当 $m$ 变化时，直线 $A E$ 与 $B D$ 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

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21. 设函数 $f (x) = (a x + 1) e^{- x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、对任意 $x \in [0 ， + \infty) ， f (x) \leq x + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 以平面直角坐标系的坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 + 2 t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 4 cos θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线与曲线 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq f (x) - | x - 1 |$ ；

(2)、如果对 $\forall x \in R$ ，不等式 $g (x) + c \leq f (x) - | x - 1 |$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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