陕西省西安市八校2018届高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2018-11-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = lg x}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，“ $\vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ ”是“ $Δ A B C$ 是钝角三角形”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若过点 $A (3 ， 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 有公共点，则直线 $l$ 斜率的取值范围为（）

A、 $(- \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ B、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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4. 已知函数 $f (x) = cos (x + θ) (0 < θ < π)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 时取得最小值，则 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间是（）

A、 $[\frac{π}{3} ， π]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{2 π}{3} ， π]$

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ，则满足 $S_{n} S_{n + 1} < 0$ 的正整数 $n$ 的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ x + y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - 3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、-10 B、-4 C、4 D、6

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7. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = \frac{9}{2} ， | \overset{⇀}{A C} | = 3 ， | \overset{⇀}{A B} | = 3 ， M 、 N$ 分别是 $B C$ 边上的三等分点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A N}$ 的值是（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、6 D、7

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $2 + \frac{2 π}{3}$ D、 $4 + \frac{2 π}{3}$

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9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 $n = 24$ ，则 $p$ 的值可以是（）（参考数据： $sin 15^{0} \approx 0.2588 ， sin {7.5}^{0} \approx 0.1305 ， sin {3.75}^{0} \approx 0.0654$ ）

A、2.6 B、3 C、3.1 D、3.14

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 有一个公共的焦点 $F$ ，且两曲线的一个交点为 $P$ ，若 $| P F | = 5$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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11. 已知球的直径 $S C = 4 ， A 、 B$ 是该球球面上的两点， $∠ A S C = ∠ B S C = 30^{0}$ ，则棱锥 $S - A B C$ 的体积最大为（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2}$ ，若 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2 e}]$

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二、填空题

13. 若 $\frac{a + b i}{i} (a ， b \in R)$ 与 ${(2 - i)}^{2}$ 互为共轭复数，则 $a - b =$ ．

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14. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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15. 曲线 $y = 2 ln x$ 在点 $(e^{2} ， 4)$ 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1 ， a_{n} = \frac{2 S_{n}^{2}}{2 S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则这个数列前 $n$ 项和公式 $S_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5} ， x_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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18. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组： $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ ，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；

(2)、从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(3)、规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有 $90 \frac{0}{0}$ 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？

生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组

25周岁以下组

合计

$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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19. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

(1)、 $M$ 为 $A B$ 中点，在线段 $C B$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $M P / /$ 平面 $C N B_{1}$ ？若存在，求出 $B P$ 的长；若不存在，请说明理由；

(2)、求二面角 $C - N B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

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20. 已知直线 $l ： x = m y + 1$ 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ ，抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{3} y$ 的焦点为椭圆 $C$ 的上顶点，且 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，点 $A 、 F 、 B$ 在直线 $g ： x = 4$ 上的射影依次为 $D 、 K 、 E$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，且 $\overset{⇀}{M A} = λ_{1} \overset{⇀}{A F} ， \overset{⇀}{M B} = λ_{2} \overset{⇀}{B F}$ ，当 $m$ 变化时，证明： $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值；

(3)、当 $m$ 变化时，直线 $A E$ 与 $B D$ 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x$ ，函数 $g (x) = λ f (x) + sin x (λ \in R)$ 是区间 $[- 1 ， 1]$ 上的减函数.

(1)、求 $λ$ 的最大值；

(2)、若 $g (x) < t^{2} + λ t + 1$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上恒成立，求 $t$ 的取值范围；

(3)、讨论关于 $x$ 的方程 $\frac{ln x}{f (x)} = x^{2} - 2 e x + m$ 的根的个数.

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22. 以平面直角坐标系的坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - 3 t \\ y = - 1 + 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 4 cos θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq f (x) - | x - 1 |$ ；

(2)、如果对 $\forall x \in R$ ，不等式 $g (x) + c \leq f (x) - | x - 1 |$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组
25周岁以下组
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828