2017年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-24 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|2^x2^﹣^2x^﹣³≤1}，则A∩B=（）

A、{0} B、{2} C、{0，2} D、{﹣2，0}

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2. 已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数f（x）=x^a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log_a（x+1）|的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若变量x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} y \leq 2 \\ x + y \geq 1 \\ x - y \leq a \end{matrix}$ ，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a的值为（）

A、1 B、7 C、﹣1 D、﹣7

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6. 已知函数f（x）=sin（2ωx﹣ $\frac{π}{6}$ ）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）

A、函数f（x）的图象关于点（ $\frac{π}{6}$ ，0）对称 B、函数f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{6}$ 对称 C、函数f（x）的图象在（ $\frac{π}{2}$ ，π）上单调递减 D、函数f（x）的图象在（ $\frac{π}{2}$ ，π）上单调递增

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7. 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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8. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）

A、12π B、48π C、4 $\sqrt{3}$ π D、32 $\sqrt{3}$ π

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9. 某一算法框图如图，输出的S值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、0

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10. 已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆上存在点P使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则m的取值范围是（）

A、（﹣∞，4] B、（6，+∞） C、（4，6） D、[4，6]

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11. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12. 定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁ ， x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足 $f^{'} (x_{1}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ， $f^{'} (x_{2}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + m$ 是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4} ， 1)$ B、 $(\frac{3}{4} ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$

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二、填空题：

13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = 60^{\circ} ， b = 4 ， S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，则a= ．

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14. 若二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为．

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15. 矩形OABC的四个顶点坐标依次为 $0 (0 ， 0) ， A (\frac{π}{2} ， 0) ， B (\frac{π}{2} ， 1) ， C (0 ， 1)$ ，线段OA，OC及 $y = \cos x (0 < x \leq \frac{π}{2})$ 的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内Ω的概率为．

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16. 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时， $f (x) = \frac{1}{2} - | x - \frac{3}{2} |$ ；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x₁ ， x₂ ， x₃ ， …x_n ， …，若 $α \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ，则x₁+x₂+…+x_2n= ．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}前n项和S_n满足：2S_n+a_n=1．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{\log_{3} a_{n} \cdot \log_{3} a_{n + 1}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，求证：T_n＜2．

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18. 根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：
组别
PM2.5浓度
（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组
（0，25]
3
0.15
第二组
（25，50]
12
0.6
第三组
（50，75]
3
0.15
第四组
（75，100]
2
0.1

(1)、将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
①求图4中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．

(2)、将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，已知长方形ABCD中，AB=2 $\sqrt{2}$ ，AD= $\sqrt{2}$ ，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM
（Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的两个焦点为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x^{2} + x}{{(1 + x)}^{2}}$

(1)、当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；

(2)、当 $\frac{2}{3} < a \leq 2$ 时，讨论函数f（x）的单调性；

(3)、若x＞0，求函数 $g (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ 的最大值．

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22. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

(2)、直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

(1)、若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；

(2)、在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

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组别	PM2.5浓度（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	3	0.15
第二组	（25，50]	12	0.6
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100]	2	0.1